Ableitungsregeln

Mit den verschiedenen Ableitungsregeln befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei stellen wir euch die verschiedenen Regeln vor und verweisen auf entsprechende Artikel mit Beispielen. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik Oberstufe.

Hinweis: Klickt auf den Link unter der jeweiligen Ableitungsregel um weitere Informationen, Beispiele und Videos aufzurufen.

Es gibt in der Mathematik verschiedene Regeln um eine Funktion abzuleiten. In diesem Artikel stellen wir euch diese Ableitungsregeln vor. Für eine ausführliche Darstellung werden weitere Informationen verlinkt.

Ableitungsregel: Faktorregel / Potenzregel

Beginnen wir mit der Faktorregel und Potenzregel.  Ziel ist es, Funktionen wie zum Beispiel  y = x⁴ oder y = 3x² oder auch y = 5x abzuleiten. Allgemein gilt: y = xⁿ mit der Ableitung y' = n · x^n-1. Hier die allgemeine Anwendung, einige Beispiele folgen anschließend:

• Schreibt euch die Funktion y = ... auf
• Schreibt darunter y' =
• Schreibt den Exponent von y hinter y' =
• Schreibt dann das x hin
• Der Exponent für die Ableitung wird um eins reduziert.
• Der Faktor bleibt erhalten

Beispiel:    y(x) = x² , y'(x) = 2x

• Link: Faktorregel mit weiteren Beispielen anzeigen

Ableitungsregel: Summenregel

Die Summenregel besagt: Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden. Auch dies lässt sich am Besten anhand von einigen Beispielen zeigen.

Beispiele:

Tabelle nach rechts scrollbar

• Link: Summenregel Artikel anzeigen

Ableitungsregel: Produktregel

Mit der Faktor- und Summenregel haben wir uns bereits befasst. Nun kommen wir zur Produktregel. Diese wird eingesetzt, wenn eine Funktion in Produktform vorliegt. Es folgt zunächst einmal die Formel dieser Ableitungsregel. Danach folgen Erklärungen und Beispiele.

Produktregel: Kurzschreibweise

Ihr müsst bei der Funktion einen Teil als u und einen Teil als v bezeichnen. Diesen jeweiligen Teil leitet ihr ab und setzt diese in die Gleichung von y'  ein. Die folgenden Beispiele zeigen euch dies:

Beispiel 1:

• Link: Produktregel mit weiteren Beispielen anzeigen

Ableitungsregel: Quotientenregel

Nach der Produktregel, kommen wir nun zur Quotientenregel. Diese kommt zum Einsatz, wenn ihr einen Bruch ableiten wollt. Wie immer zunächst die allgemeine Regel, danach einige Erklärungen und Beispiele.

Quotientenregel: Kurzschreibweise

Den Zähler setzt ihr u, den Nenner setzt ihr v. Leitet diese dann beide ab und setzt dies in y' ein. Das folgende Beispiel verdeutlicht dies:

Beispiel 1:

• Link: Quotientenregel mit Beispielen anzeigen

Ableitungsregel: Kettenregel einsetzen

Mit den bisherigen Ableitungsregeln ist es möglich, einfache Funktionen abzuleiten. Problematisch wird es jedoch, wenn zusammengesetzte oder gar verschachtelte Funktionen abgeleitet werden müssen.  Um Funktionen wie zum Beispiel y = sin ( 5x - 8 ) oder y = e^4x abzuleiten, muss die Kettenregel eingesetzt werden. Man greift dabei auf eine so genannte Substitution zurück. Was genau es damit auf sich hat, erkläre ich euch noch. Zunächst jedoch ein kleiner Merksatz.

Kettenregel: Die Ableitung einer zusammengesetzten ( verketteten ) Funktion erhält man als Produkt aus äußerer und innerer Ableitung.

Viele Schüler haben zu Beginn größere Schwierigkeiten diese Regel anzuwenden. Grund: Es gehört etwas Erfahrung dazu, um zu sehen, dass die Kettenregel überhaupt angewendet werden muss. Im nun Folgenden stelle ich euch einige typische Beispiele vor, bei der durch Anwendung der Kettenregel die Ableitung gebildet wird. Dabei wird zunächst der Rechenweg gezeigt, darunter finden sich Erläuterungen.

Beispiel 1: y = ( 3x - 2 )⁸

• Substitution: u = 3x - 2
• Äußere Funktion = u⁸
• Äußere Ableitung = 8u⁷
• Innere Funktion = 3x -2
• Innere Ableitung = 3
• y' = 8u⁷ · 3 = 24u⁷
• mit u = 3x - 2 => y' =  24 ( 3x  - 2 )⁷

Links:

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