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Aufleiten einer Funktion ( Aufleitung )

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 02. April 2011 um 13:06 Uhr

In diesem Artikel sehen wir uns das Aufleiten von Funktionen an. Dabei werden entsprechende Regeln zur Aufleitung vorgestellt und dann im Anschluss sehen wir uns die Aufleitung verschiedener Funktionen an. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik Oberstufe.

Zunächst ein wichtiger Hinweis: Die Begriffe "Aufleiten" bzw. "Aufleitung" sind umgangssprachlich. Er wird von vielen Schülern einfach als das Gegenteil von Ableiten angesehen. In der Mathematik spricht man bei diesem Bereich richtigerweise von Integration bzw. von Integrationsregeln. Dieser Artikel hier richtet sich also mehr an Schüler bzw. Studenten, die sich der Sache von der Umgangssprache her genähert haben. Für die Berechnung macht dies letztlich natürlich keinen Unterschied.

Ihr hoffe ihr kennt noch Funktionen. Da gab es zum Beispiel: y = 2x oder y = 2x3 + 3x. Und dann gab es die Ableitungen dazu, zum Beispiel y' = 2 oder y' = 6x2 + 3. Beim Integrieren gehen wir in die umgekehrte Richtung. Wir haben eine Funktion und integrieren diese. Also nochmal zum mitschreiben: Wir haben eine Funktion y = f(x) und suchen Y = F(x).

Einfache Funktionen aufleiten

Beginnen wir beim Aufleiten mit der Potenzregel. Dabei wird hier zunächst eine Konstante aufgeleitet. Es folgen Beispiele:

  • f(x) = 2 -> F(x) = 2x + C
  • f(x) = 5 -> F(x) = 5x + C
  • f(x) = 8 -> F(x) = 8x + C

Merke: Eine Konstante wird aufgeleitet, in dem man an die Konstante ein "x" angehängt und +C schreibt. Das C steht dabei für eine beliebige Zahl. Lasst dieses C erst einmal so stehen, wie es ist. Der Grund: Leitet ihr 2x + 2 oder 2x + 5 bzw. allgemein 2x + C ab, erhaltet ihr wieder f(x) = 2.

Funktionen mit Potenzregel aufleiten:

Nun möchten wir Funktionen wie zum Beispiel f(x) = 2x  oder f(x) = 3x2 integrieren. Dafür benutzen wir die Potenzregel, die wie folgt aussieht:

Integral Potenzregel

Die Anwendung der Potenzregel für die Aufleitung ist eigentlich recht simpel. Seht euch die Hochzahl der Funktion an, die ihr integrieren wollt. Addiert zu dieser die Zahl 1 und ihr habt den neuen Exponenten und die neue Zahl unterhalb des Bruches. Ein paar Beispiele:

Integral Pozentregel Beispiel

Noch eine kleine Anmerkung: Im Allgemeinen schreibt man hinter die Funktion noch ein "dx", also zum Beispiel F(x) = ( 5x ) dx. Dies bedeutet, dass die Funktion nach x integriert wird. Um jetzt mathematisch korrekt zu arbeiten, werden wir diese Schreibweise in den folgenden Beispielen auch einsetzen.

Summenregel Aufleitung

Wie auch bei der Summenregel der Differentation gibt es beim Aufleiten eine Summenregel, die sehr ähnlich aussieht. Diese besagt, dass ihr Gliedweise integrieren dürft. Wie immer sind einige Beispiele für das Verständnis vermutlich am Besten. So sieht die Aufleitung der Funktion dann aus:

Integral Summenregel

Funktion durch Partielle Integration aufleiten

Eine weiterer Fall ist die Aufleitung durch eine partielle Integration. Es folgt zunächst die Formel und danach geht es an ran an Beispiele:

Produktintegration

Partielle Integration Funktionen

Zeit für ein Funktionen um die partielle Integration zu zeigen. Dazu gleich eine kleine Warnung:  Ihr müsst am Anfang u und v' festlegen. Wählt ihr diese falsch herum aus, könnt ihr die Aufgabe unter Umständen nicht mehr lösen. Tauscht in diesem Fall u und v' einmal gegeneinander aus und versucht es erneut. Es folgen nun zwei Beispiele und zur partiellen Aufleitung und im Anschluss eine allgemeine Anleitung:

Beispiel 1 mit E-Funktion:

Partielle Integration Beispiel 1

Beispiel 2 mit ln-Funktion:

Partielle Integration Beispiel 2

Funktionen durch Substitution integrieren

Klären wir zunächst, was man unter der Substitution überhaupt versteht: Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Und genau das tun wir nun um eine Integration durchzuführen. Ich zeige dies gleich durch das Vorrechnen einiger Beispiele. Zunächst jedoch eine Übersicht zur Vorgehensweise:

  1. Substitution, Ableitung und Umstellen
  2. Substitution bei der Integralaufgabe durchführen
  3. Integral lösen
  4. Rücksubstitution durchführen

Beispiele zur Substitution bei der Integration

Anhand dieser vier Punkte sollen nun einige Funktionen durch Substitution aufgeleitet werden. Denn Beispiele verdeutlichen die Vorgehensweise in der Regel am besten.

Beispiel 1: Im ersten Beispiel soll ein Bruch integriert werden. Dabei halten wir uns an den 4-Punkte-Plan weiter oben. Im Schritt 1 substituieren wir den Nenner. Im Anschluss leiten wir ab und stellen nach dx um.  In Schritt 2.) setzen wir für 5x - 7 nun z ein und für dx setzen wir dz durch 5 ein. In Schritt Nr. 3 geht es dann darum die Integration durchzuführen. Und im letzten Schritt führen wir die Rücksubstitution durch.

Integration durch Substitution Beispiel 1

Beispiel 2: Im zweiten Beispiel zur Integration durch Substitution geht es darum eine Sinus-Funktion zu integrieren. Die Vorgehensweise sieht dabei aus wie im ersten Beispiel: Wir führen in Schritt 1.) zunächst eine Substitution durch, leiten ab und stellen nach dx um. Im Schritt 2.) setzen wir für 3 - 7x nun z ein und für dx nun dz durch -7. Im dritten Schritt geht es nun darum das Integral zu lösen um im letzten Schritt wird die Rücksubstitution durchgezogen.

Integration durch Substitution Beispiel 2

Beispiel 3: Im Beispiel Nr. 3 soll nun eine Flächenberechnung durchgeführt werden. Auch hier geht es zunächst erst einmal darum das Integral durch Einsatz von Substitution zu lösen. Nach der Rücksubstitution in Schritt 4.) geht es im Schritt 5.) dann um die Berechnung der Fläche. Also die obere und untere Grenze jeweils einsetzen, ausrechnen und die Differenz bilden. So wie man das bei der Flächenberechnung ( bei der Integration ) eben macht.

Integration durch Substitution Beispiel 3

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