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Integrationsregeln

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 20. Juli 2014 um 19:48 Uhr

Mit den verschiedenen Integrationsregeln beschäftigen wir uns in diesem Artikel. Dabei befassen wir uns in Kurzform mit diesen und verlinken auf weiterführende Angebote mit Beispielen. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik Oberstufe.

Hinweis: Die Inhalte dieses Artikels liegen auf Wunsch auch als Video vor: Grundlagen + Summenregel Video, Elementare Integrationsregeln Video, Partielle Integration Video und Flächenberechnung Video.

Es gibt in der Mathematik eine Reihe an Integrationsregeln, um ( einfachere ) Funktionen zu integrieren. In diesem Artikel sollen genau diese Regeln einmal in Kurzform vorgestellt werden. Unterhalb der jeweiligen Regel findet ihr einen Link zu weiteren Informationen.

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Integrationsregel: Potenzregel

Beginnen wir bei der Integration mit der Potenzregel. Dabei wird hier zunächst eine Konstante integriert:

  • f(x) = 2 -> F(x) = 2x + C
  • f(x) = 5 -> F(x) = 5x + C
  • f(x) = 8 -> F(x) = 8x + C

Merke: Eine Konstante wird integriert, in dem man an die Konstante ein "x" angehängt und +C schreibt. Das C steht dabei für eine beliebige Zahl. Lasst dieses C erst einmal so stehen, wie es ist. Der Grund: Leitet Ihr 2x + 2 oder 2x + 5 bzw. allgemein 2x + C ab, erhaltet ihr wieder f(x) = 2.

Nun möchten wir Funktionen wie zum Beispiel f(x) = 2x  oder f(x) = 3x2 integrieren. Dafür benutzen wir die Potenzregel, die wie folgt aussieht:

Integral Potenzregel

Beispiele:

Integral Pozentregel Beispiel


Integrationsregel: Summenregel

Wie auch bei der Summenregel der Differentation gibt es bei der Integration auch eine Summenregel, die sehr ähnlich aussieht. Diese besagt, dass ihr Gliedweise integrieren dürft. Wie immer sind einige Beispiele für das Verständnis vermutlich am Besten:

Integral Summenregel

Integrationsregel: Partielle Integration

Soll ein Produkt integriert werden, wendet man die so genannte partielle Integration - oft auch Produktintegration - an. Ich hoffe ihr erinnert euch an die Produktableitung ( Differentation ). So etwas ähnliches gibt es auch bei der Integration und wird als partielle Integration bezeichnet. Es folgt zunächst die allgemeine Formel, im Anschluss gibt es einige Beispiele.

Produktintegration


Zeit für ein paar Beispiele um die partielle Integration zu zeigen. Dazu gleich eine kleine Warnung:  Ihr müsst am Anfang u und v' festlegen. Wählt ihr diese falsch herum aus, könnt ihr die Aufgabe unter Umständen nicht mehr lösen. Tauscht in diesem Fall u und v' einmal gegeneinander aus und versucht es erneut.

Beispiel 1:

Partielle Integration Beispiel 1


Links:

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