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Komplexe Zahlen Grundlagen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 12. März 2015 um 21:37 Uhr

Was sind eigentlich komplexe Zahlen? Genau dies sehen wir uns in den nächsten Abschnitten etwas genauer an. Dabei beginnen wir ganz von vorne, also mit den Grundlagen zu den komplexen Zahlen. Wofür braucht man diese? Wie sehen sie aus? Wie stellt man sie dar? Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

In der Schule haben die meisten schon einige Zahlenarten kennengelernt. Da waren zum Beispiel die natürlichen Zahlen wie 1, 2, 3, 4, 5, es gab negative Zahlen wie zum Beispiel -1, -2, -3 und auch irrationale Zahlen wie die Wurzel aus 2 (also etwa 1,4142...). Im Studium - manchmal auch noch in der Oberstufe - kommt noch eine weitere Zahlenart hinzu. Man nennt diese "komplexe Zahlen". Und diese sind wirklich ungewöhnlich.

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Was sind komplexe Zahlen?

Mit den ganzen "normalen" Zahlen die man in der Schule meistens kennenlernt, kann man keine Zahl erhalten, deren Quadrat negativ ist. Nehmen wir als einfaches Beispiel einmal:

  • x2 = -1

In der Schule würde man oft einfach sagen, dass dies nicht lösbar ist, denn was soll man für x einsetzen, damit nach dem quadrieren -1 herauskommt?

Wir brauchen also etwas neues, das wir uns nun bauen müssen. Dazu verwenden wir jetzt den Buchstaben i - wobei in der Elektrotechnik bzw. Physik anstatt dem i manchmal auch ein j verwendet wird - und sagen folgendes:

  • i2 = -1

Das i bezeichnen wir ab jetzt als imaginäre Einheit. Eine komplexe Zahl setzt sich aus zwei Bestandteilen zusammen: einem Realteil a und einem Imaginärteil b, den wir mit dem i multiplizieren. Eine komplexe Zahl sieht damit so aus:

  • Komplexe Zahl: z = a + bi

Einschub: Wozu braucht man komplexe Zahlen?

Was soll der quatsch eigentlich? Wir haben eben kurz gesehen, wie eine komplexe Zahl aufgebaut ist. Aber wozu braucht man so etwas eigentlich? Nun, die komplexen Zahlen helfen bei der Berechnung von Aufgaben in verschiedenen Naturwissenschaften. In der Elektrotechnik zum Beispiel gelingt mit den komplexen Zahlen die Berechnung von Wechselströmen. Auch wenn es zunächst schwer zu glauben sein mag, aber ohne die komplexen Zahlen wären die Berechnungen noch weitaus schwieriger.


Komplexe Zahlen Darstellung

Wie kann man sich die komplexen Zahlen vorstellen? Dazu sehen wir uns etwas an, das an die x-y-Ebene in der Mathematik erinnert. Wer hier Erinnerungsprobleme hat schaut bitte einmal in den Artikel Koordinatensystem Einführung. So etwas ähnliches gibt es auch für die Darstellung der komplexen Zahlen. Man spricht hier allerdings nicht von einem x-y-Koordinatensystem sondern von der gaußschen Zahlenebene (oder kurz Gaußebene). An die Achsen schreibt man dann nicht mehr x und y, sondern Realteil (Re) und Imaginärteil (Im).

Komplexe Zahlen Darstellung

Bild 1: Die komplexen Zahlen 2 + 3i und 4 - i werden dargestellt.

Nehmen wir uns einfach einmal die erste komplexe Zahl. Das war die 2 + 3i. Und dann wird das Bild ein wenig erweitert. In rot habe ich noch a und b eingetragen und die Hypotenuse in grün. Auch einen Winkel der dabei entsteht habe ich in grün noch eingetragen.

Komplexe Zahlen Darstellung 2

Bild 2: Wir tragen a, b, die Hypotenuse und einen Winkel ein.

Und wie man schon fast bei dem Begriff "Hypotenuse" vermuten kann, lässt sich hier mit dem Satz des Pythagoras ein Zusammenhang finden (wer diesen nicht mehr kennt Siehe Artikel Satz des Pythgaoras). Dieser wäre dann wie folgt:

Komplexe Zahlen Satz des Pythagoras

Darüber hinaus lassen sich noch diese beiden Zusammenhänge gewinnen:

Komplexe Zahlen: Längen und Winkel

Arbeiten mit komplexen Zahlen

Wir haben eben einige Grundlagen zu den komplexen Zahlen besprochen. Aber mehr auch nicht. In Folgeartikeln sehen wir uns nun den Umgang mit den komplexen Zahlen an, sprich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Auch die Begriffe konjugiert komplexe Erweiterung und Polarkoordinaten werden besprochen.

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