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Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten lösen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 10. September 2008 um 14:34 Uhr

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Lösen linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Dabei zeigen wir euch zunächst, worum es sich dabei überhaupt handelt und wie man diese Gleichungen richtig auflöst. Viele Beispiele und umfangreiche Erklärungen stehen deshalb für euch bereit.

Das Lösen von Gleichungen hat schon viele Schüler und Schülerinnen zur Verzweiflung getrieben. Dieser Artikel wird deshalb das Thema Gleichungen ganz von vorne beginnen und Stück für Stück neue Vorgehensweisen liefern, damit ( hoffentlich ) jeder mitkommt. Deshalb beginnen wir mit etwas, dass jeder schon aus der Grundschule kennen müsste, einer Gleichung. Kein Witz!

  • 3 + 4 = 7

Hier seht ihr eine ganz einfach Gleichung. Denn auf der linken Seite steht der selbe Wert wir auf der rechten Seite. Denn 3 + 4 = 7. Somit steht 7 = 7 da. Es steht also links das selbe wie rechts.  Dies trifft auch auf das Lösen von Gleichungen zu. Was nun neu ist, dass noch eine Variable ( Was ist eine Variable? ) in der Gleichung auftaucht. Das Ziel ist es, herauszufinden, wie groß die Zahl der Variable ist. Und genau damit beschäftigen wir uns in den folgenden Abschnitten.

Gleichungen lösen durch Addition und Subtraktion

Wie schon in der Einleitung erklärt, soll nun eine Gleichung mit einer Unbekannten ( es gibt auch Gleichungen mit zwei und mehr Unbekannten, aber damit wollen wir euch hier nicht quälen ) zu lösen. Diese Unbekannte wird im Unterricht meistens "x" genannt. Ziel ist es, dass am Ende "x = eine Zahl" dasteht.  Es folgt ein ganz simples Beispiel, um euch einen Einstieg zu ermöglichen. Dieses wird anschließend erklärt.

Tabelle nach rechts scrollbar
Beispiel 1:
x + 2 = 5 | -2
x = 3

In der ersten Zeile findet sich die Startgleichung, welche nach x aufgelöst wird. Um dies durchzuführen, müssen sogenannte Äquivalenzumformungen durchgeführt werden. Dies bedeutet: Das Aussehen der Gleichung wird verändert, aber dennoch steht auf der linken Seite der selbe Wert wir auf der rechten Seite. Um nun nach "x" aufzulösen, muss die 2 auf der linken Seite "weggeschafft" werden. Um eine +2 weg zu bekommen, muss mit "-2" gerechnet werden. Alle Rechenoperationen werden hinter ein "|" geschrieben. So wird nun "| -2" geschrieben, um klar zu machen, dass eine 2 abgezogen werden soll. Ganz wichtig: Rechenoperationen müssen auf beiden Seiten durchgeführt werden. Rechne ich auf der linken Seite "-2", muss ich dies auch auf der rechten Seite tun!

Im nun Folgenden finden sich eine Reihe weiterer Beispiele. Auch hier soll wieder nach "x" aufgelöst werden. Die Vorgehensweise ist die selbe. Unter Umständen kann die Gleichung schon vereinfacht werden, ohne äquivalente Umformungen. Dann findet sich auch kein Rechenschritt hinter der Zeile. Anmerkung: Die Unbekannte kann natürlich auch rechts vom "=" stehen. Dies spielt keine Rolle bei der Berechnung ( Siehe Beispiel 3 ).

Tabelle nach rechts scrollbar
Beispiel 2:
x - 5 = 2

| + 5

x = 7

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Beispiel 3:
4 = x + 2
| -2
2 = x

Tabelle nach rechts scrollbar
Beispiel 4:
4 - 3 + x = 5 - 2
1 + x = 3
| -1
x = 2

Soweit erst einmal zur Addition und Subtraktion bei Gleichungen. An Beispiel 4 sieht man gut, dass es oftmals erst einmal sinnvoll ist, die Gleichung zu vereinfachen, bevor Umformungen durchgeführt werden. Im nächsten Abschnitt schauen wir uns nun an, was zu tun ist, wenn Multiplikationen und Divisionen durchzuführen sind.




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