Ffl logoAzubiworld partner

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 07. Dezember 2009 um 23:33 Uhr

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung - oftmals auch Stochastik genannt - ist für die meisten Schüler und Schülerinnen eines der schlimmsten Kapitel der Mathematik. Im nun Folgenden findet ihr eine Übersicht der Themen, die wir hier behandeln möchten. Im Anschluss gibt es noch eine Kurzeinleitung zu den wichtigsten Themen.

Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Der Ereignisbaum der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Viele Menschen wünschen sich, Ereignisse vorhersagen zu können. Nur ein kleines Beispiel: "Kopf oder Zahl?" heißt es oftmals, wenn eine Münze geworfen wird.  Auf welcher der beiden Seiten die Münze landet, wisst ihr natürlich nicht. Nur eine Wahrscheinlichkeit kann angegeben werden. Es gibt zwei Seiten: Kopf oder Zahl. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für Wappen 1/2 und für Münze auch 1/2. Und das bringt uns zum Ereignisbaum. Das Beispiel zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Münze von eben zeichnen wir in einen Ereignisbaum ein. Es gibt zwei Möglichkeiten ( Wappen, Zahl ) die bei einem Wurf eintreten können, folglich gibt es zwei Pfade. Die Wahrscheinlichkeit ist 1/2 für Wappen und 1/2 für Zahl, diese Werte werden an die Pfade geschrieben. Aber seht selbst:

Stochastik Ereignisbaum

Man kann alle Möglichkeiten, die existieren, zu einer Ergebnismenge "M" zusammenfassen. Für unseren Fall wäre diese: M = { Wappen, Zahl }. Nun interessiert natürlich, was bei einem realen Experiment tatsächlich passiert. Seht euch dazu einmal die folgende Tabelle an, welche im Anschluss erklärt wird.

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Laplace Regel

Klären wir zunächst den Begriff Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Beispiel: Ein Würfel wird geworfen. Auf welcher Seite er landet, ist vor Abwurf des Würfels aus der Hand nicht zu sagen. Das Zufallsexperiment gehört damit zum Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Unter einem Laplace Experiment versteht man ein Zufallsexperiment, bei dem alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen. Man spricht hier oftmals von "gleichwahrscheinlich".

Laplace Experiment: Beispiele

Woran erkennt man nun, ob es sich um einen Laplace Versuch handelt oder nicht? Die Frage ist oftmals nicht ganz so einfach zu beantworten und erfordert in vielen Fällen Vorkenntnisse auf dem entsprechenden Gebiet. Es folgen ein paar Beispiele:

  • Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu Würfeln genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit die Zahl 6 zu Würfeln. Es handelt sich somit um ein Laplace Experiment / Versuch.
  • Eine Münze hat zwei Seiten: Kopf und Zahl. Bei einer nicht manipulierten Münze ist die Wahrscheinlichkeit "Zahl" zu werfen genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit "Wappen" zu werfen. Somit handelt es sich um einen Laplace Versuch.
  • Bei einem Pferderennen treten 10 Reiter samt Pferde gegeneinander an. Da sich die Fähigkeiten der Teilnehmer voneinander unterschieden, ist die Chance auf einen Sieg bei jedem Teilnehmer verschieden. Somit haben wir kein Laplace Experiment.

Man sollte versuchen solche Aufgaben mit etwas gesundem Menschenverstand anzupacken. Hat man keinen Grund, das Eintreten irgendeines der Ergebnisse eines Zufallsexperiments für wahrscheinlicher als das der anderen Ergebnisse zu halten, so kann man erst einmal von einem Laplace Experiment ausgehen.

Binomialkoeffizient der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Der Binomialkoeffizient der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. Der Versuch wird dabei ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge durchgeführt.

Binomialkoeffizient berechnen

Kommen wir nun zur Schreibweise für den Binomialkoeffizienten und zu dessen Berechnung. Dazu benötigt ihr das Wissen, wie man die Fakultät ( Was ist Fakultät ? ) berechnet. Im nun Folgenden findet ihr die Schreibweise sowie deren Berechnung. Erklärungen gibt es im Anschluss.

Binomialkoeffizient

Erklärung: Auf der linken Seite findet ihr die Kurzschreibweise für den Binomialkoeffizient, gesprochen "n über k". Auf der rechten Seite seht ihr den Bruch, wie er berechnet wird. Die folgenden Beispiele dürften dies noch verdeutlichen.

Beispiel 1:

Binomialkoeffizient Beispiel 1

Links:




Neue Artikel

Fehler und Feedback bitte an kontakt@frustfrei-lernen.de. Aber keine Aufgaben!

Wer ist online