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Kurvendiskussion

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 16. Dezember 2009 um 22:37 Uhr

Mit der Kurvendiskussion beschäftigen wir uns in diesem Artikel. Dabei wird erklärt, was man unter einer Kurvendiskussion versteht und wie man diese auf ein Beispiel anwendet. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

In der Mathematik untersucht man Funktionen auf ihre Eigenschaften. So ist eine Gleichung gegeben und diese wird durch mathematische Verfahren auf viele Eigenschaften hin geprüft. Die Kurvendiskussion wird in der Regel ab der Oberstufe behandelt. Dieser Artikel soll eine Erklärung zu diesem Bereich bieten.

Kurvendiskussion Erklärung

Um eine Kurvendiskussion durchzuführen, führt man in der Regel die folgenden Schritte durch. Eine Erklärung anhand eines Beispieles folgt im Anschluss:

  1. Definitionsbereich bestimmen
  2. Nullstellen bestimmen
  3. Symmetrie untersuchen
  4. Schnittstellen y-Achse
  5. Verhalten im Unendlichen
  6. Extrempunkte
  7. Wendepunkte

Kurvendiskussion Beispiel

Anhand eines Beispiels soll euch die Kurvendiskussion näher gebracht werden. Untersucht werden soll die folgende - gebrochen rationale - Funktion:

Kurvendiskussion Beispiel 1.1

1. Definitionsbereich bestimmen:

In der Mathematik darf nicht durch Null dividiert werden. Der Nenner des Bruchs darf somit nicht Null werden. Dies würde der Fall werden, wenn x = 0 eingesetzt wird.  Der Definitionsbereich sieht damit wie folgt aus:

Kurvendiskussion Beispiel 1.2

2. Nullstellen bestimmen:

Die Nullstellen erhalten wir, in dem wir den Zähler der Funktion Null setzen und nach x auflösen.

Kurvendiskussion Beispiel 1.3

Da an dieser Stelle der Nenner nicht Null wird, haben wir unsere Nullstelle gefunden.

3. Symmetrie untersuchen:

Als nächstes wird die Symmetrie der Funktion untersucht. Die Funktion ist achsensymmetrisch zu Y-Achse, wenn f(x) = f(-x).

Kurvendiskussion Beispiel 1.4

Die Funktionen f(x) und f(-x) sind ungleich, es liegt somit keine Achsensymmetrie zur Y-Achse vor.

4. Schnittstellen Y-Achse:

Ein Schnittpunkt mit der Y-Achse liegt vor, wenn man x = 0 in die Gleichung einsetzt und damit einen Y-Wert berechnen kann. Für dieses Beispiel geht dies jedoch nicht, da wir unter Punkt 1 die Definitionsmenge bestimmt haben und x = 0 nicht zulässig ist.

5. Verhalten im Unendlich

Als fünften Punkt in der Kurvendiskussion untersuchen wir, wie sich die Funktion verhält, wenn x gegen plus bzw. minus unendlich verläuft.

Kurvendiskussion Beispiel 1.5

6. Extrempunkte

Um die Extrempunkte und später auch eventuelle Wendepunkte zu finden, bilden wir zunächst die ersten drei Ableitungen der Funktion unter Einsatz der Quotientenregel. Nach Ableiten und Vereinfachen erhalten wir:

Kurvendiskussion Beispiel 1.6

Dann setzen wir die erste Ableitung Null und setzen das Ergebnis in die zweite Ableitung ein. Damit lässt sich entscheiden, ob eine Maximum- oder Minimumstelle vorliegt.

Kurvendiskussion Beispiel 1.7

Kurvendiskussion Beispiel 1.8

Da -2 < 0 ist, liegt ein Maxima vor. Der Punkt liegt bei (1;1).

7. Wendepunkte

Wir setzen die zweite Ableitung Null und gehen mit dem Ergebnis in die dritte Ableitung.

Kurvendiskussion Beispiel 1.9

Da 0,79 ungleich 0 ist, liegt ein Wendepunkt vor. Dieser liegt bei (1,5;0,88).

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