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Binomische Formeln einfach erklärt

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 13. September 2008 um 12:20 Uhr

Die 3 binomischen Formeln sollen Mathematikern das Leben erleichtern. Vielen Schülern kommt dies jedoch gerade beim ersten Arbeiten mit den binomischen Formeln gar nicht als Erleichterung rüber. Dieser Artikel wird hoffentlich allen Interessenten eine Erleuchtung in diesem Bereich bieten.

Wer sich mit der Rechnung rund um Klammern auskennt, der braucht die binomischen Formeln eigentlich gar nicht. Denn diese ergeben sich zwangsläufig aus den Rechengesetzen. Warum diese dennoch in der Schule behandelt werden, hat einen einfachen Grund: Sie erleichtern das Leben. Die 3 binomischen Formeln stellen somit eine "Abkürzung" dar. Und welcher Schüler geht nicht gerne den Weg des geringsten Widerstandes? Bevor wir mit dem Thema richtig loslegen, solltet ihr jedoch die Grundlagen der Klammerrechnung beherrschen. Wer hier noch zweifelt, schaut am Besten schnell einmal in die folgenden Artikel rein. Alle anderen können gleich mit der ersten binomischen Formel loslegen.

 

Binomische Formeln Videos:
Dieser Artikel liegt auch als Video vor.

  • Hinweise: Dies ist noch ein Tafelvideo. Eine Neuauflage in HD ist geplant. Der Abruf ist auch direkt in der Rubrik Binomische Formeln Videos möglich.
  • Probleme: Bei Abspielproblemen bitte den Artikel Video Probleme aufrufen.

 

Erste binomische Formel

Für alle, die Klammern ausmultiplizieren können, ist die erste binomische Formel eigentlich nichts neues, auch wenn sie auf den ersten Blick abschreckend wirkt. Denn diese lautet:

 

  • 1. Binomische Formel: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
  • Herleitung: ( a + b )2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2


Die Herleitung ist für alle diejenigen interessant, die sich Fragen: "Woher kommt das eigentlich?" Alle anderen benötigen nur den mathematischen Ausdruck, den ich fett markiert habe. Die Herleitung zeigt einfach nur, wie man die Klammern ausmultipliziert ( was wir im oben verlinkten Abschnitt bereits erklärt haben ). Ein paar Beispiele demonstrieren, wie man die Formel anwendet:

 

  • ( 3 + 4 )2 = 32 + 2 · 3 · 4 + 42 = 9 + 24 + 16 = 49
  • ( 1 + 2 )2 =12 + 2 · 1 · 2 + 22 =1 + 4 + 4 = 9


Tipp: Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen ein. Vergleicht die Formel mit dem was ich oben vorgerechnet habe, dann sollte es klarer werden. Unsere Übungsaufgaben ( Link am unteren Ende des Artikels ) dazu sollten ebenfalls für zusätzliche Erleuchtung sorgen.

 

Zweite Binomische Formel

Die zweite binomische Formel sieht sehr ähnlich aus. Nur hier findet sich nun ein negatives Vorzeichen. Es folgt wieder die Formel samt Herleitung:

 

  • 2. Binomische Formel: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
  • Herleitung: ( a - b )2 = ( a - b ) · ( a - b ) = a2 - ab -ba + b2 = a2 - 2ab + b2

Auch hier geht es letzten Endes darum, in der Aufgabestellung zu sehen "Ok, da ist eine Differenz in der Klammer" und dann einzusetzen. Zum besseren Verständnis auch hier wieder zwei kleine Beispiele:

  • ( 4 - 2 )2 = 42 -2 · 4 · 2 + (2)2 =16 - 16 + 4 = 4
  • ( 3 - a )2 = 32 - 2 · 3 · a + a2 = 9 - 6a + a2

Auch hier wieder der Rat: Vergleicht die 2.Binomische Formel von oben mit dem was in den Beispielen gerechnet wurde. Anschließend solltet ihr die Übungsaufgaben machen, welche am unteren Ende des Artikels verlinkt sind.

 

Dritte Binomische Formel

Kommen wir zur dritten - und damit letzten - binomischen Formel. Diese hilft zwei Klammern zu multiplizieren, die wie folgt aussehen:

 

  • 3.Binomische Formel: ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
  • Herleitung: ( a + b ) ( a - b ) = a2 -ab + ba -b2 = a2 - b2

Diese Formel ist somit anzuwenden, wenn man zwei Klammern hat, bei der sich die zweite Variable nur im Vorzeichen anders verhält. Auch hier helfen ( hoffentlich ) einige Beispiele zur Verdeutlichung:

  • ( a + 3 ) ( a - 3 ) = a2 -32 = a2 - 9
  • ( 2 + b ) ( 2 - b ) = 22 - b2 = 4 - b2

 

Binomische Formeln Hoch 3,4,5 etc., Übungen und Faktorisieren

Um noch mehr über die Binomischen Formeln zu erfahren, finden sich im nun Folgenden eine Reihe an weiteren Artikeln und Angeboten zu diesem Thema.

 

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