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Linearfaktorzerlegung Lösung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 17. Juli 2011 um 14:55 Uhr

In diesem Artikel findet ihr die Lösungen der Aufgaben bzw. Übungen zur Linearfaktorzerlegung / Produktdarstellung. Löst diese Aufgaben zunächst selbst und seht erst im Anschluss in die Lösungen. Bei Problemen findet ihr Hilfe im Infoartikel. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Lösung Aufgabe 1: Linearfaktorzerlegung / Produktdarstellung

Führe für die folgenden Aufgaben eine Linearfaktorzerlegung / Produktdarstellung durch:

Beispiel 1:

Gegeben sei f(x) = x2 - 2x - 8.  Es soll eine Zerlegung in Linearfaktoren durchgeführt werden. Lösung:

  • Wir müssen die Gleichung x2 - 2x - 8 = 0 lösen. Mit der PQ-Formel erhalten wir x1= 4  und x2 = -2.
  • Die Linearfaktoren lauten damit ( x - 4 ) und ( x + 2 ).
  • Wir erhalten damit f(x) = ( x - 4 ) ( x + 2 ) für die Produktdarstellung
  • Probe: ( x - 4 ) ( x + 2 ) = x2 - 2x - 8.

Beispiel 2:

Geben sei f(x) = x2 + 2x + 1. Eine Zerlegung in Linearfaktoren soll durchgeführt werden. Lösung:

  • Wir müssen  x2 + 2x +1 = 0 lösen. Mit der PQ-Formel erhalten wir x1 = -1 und x2 = -1.
  • Wir erhalten damit ( x + 1 ) und noch einmal ( x + 1 ) für die Linearfaktoren.
  • Die Produktdarstellung lautet damit: f(x) = ( x + 1 ) ( x + 1 ) = ( x + 1 )2.
  • Probe: ( x + 1 ) ( x + 1 ) = x2 + 2x + 1.
  • Alternativ kann hier auch mit den Binomischen Formeln gearbeitet werden.

Beispiel 3:

Eine Linearfaktorzerlegung von f(x) = 2x2 + 7x -22 soll durchgeführt werden.  Lösung:

  • Bei den vorigen Beispielen hatten wir 1x2, hier haben wir 2x2.
  • Den Koeffizienten "2" vor x2 merken wir uns, denn diesen brauchen wir für die Produktdarstellung.
  • Wir suchen mit der PQ-Formel die Nullstellen und erhalten x1 = 2 und x2 = -5,5.
  • Die Linearfaktoren lauten ( x - 2 ) und ( x + 5,5 ).
  • Produktdarstellung: Mit dem Koeffizienten erhalten wir f(x) = 2 ( x - 2 ) ( x + 5,5 ).
  • Probe: 2 ( x - 2 ) ( x + 5,5 ) = 2x2 + 7x - 22.

Beispiel 4:

Eine Zerlegung von f(x) = 3x3 - 10x2 + 7x - 12 in Linearfaktoren soll durchgeführt werden. Lösung:

  • Durch raten erhalten wir eine Nullstelle bei x = 3. Wir führen eine Polynomdivision durch:

Polynomdivision Beispiel 2

  • Den Linearfaktor ( x - 3 ) konnten wir nun abspalten
  • Das reduzierte Polynom 3x2 - x + 4 bleibt übrig.
  • Durch Einsatz der PQ-Formel sehen wir, dass 3x2 - x + 4 = 0 keine weiteren Nullstellen im reellen liefert.
  • Damit konnten wir nur einen Linearfaktor abspalten. Dieser lautet ( x - 3 ).
  • Wir erhalten: f(x) = ( x - 3 ) ( 3x2 - x + 4 ).
  • Probe: ( x - 3 ) ( 3x2 - x + 4 ) = 3x3 - 10x2 + 7x - 12.

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