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Primzahlen, Teiler und Vielfache

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 20. Juli 2014 um 19:39 Uhr

In diesem Artikel klären wir, was sich hinter Primzahlen und der Primfaktorzerlegung verbirgt. Dazu beschäftigen wir uns auch mit gemeinsamen Teilern und Vielfachen von Zahlen.

Den meisten Schülern und Schülerinnern in der Schule ist zunächst nicht klar, warum man so Dinge wie Primzahlen, Primfaktorzerlegung oder auch Teiler und Vielfache von Zahlen benötigt. Die Antwort darauf lautet: Diese Dinge werden in zukünftigen Mathestunden benötigt. So ist es zum Beispiel bei der Bruchrechnung sinnvoll, die Brüche zu kürzen. Und um dies zu schaffen, muss man wissen, welche gemeinsamen Teiler die Zahlen haben. Sich mit diesem Artikel zu beschäftigen, lohnt sich also vor allem dann, wenn man sich anschließend mit der Bruchrechnung nicht so rumquälen möchte.

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Tipp der Redaktion:
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Primzahlen

Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 oder durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. So und diesen Satz von eben bitte 3-5 mal durchlesen und darüber nachdenken. Weil das ist schon das gesamte Geheimnis hinter Primzahlen. Nehmen wir ein kleines Beispiel noch zum verdeutlichen: Die Zahl 11. Diese Zahl lässt sich nicht durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 oder eine andere Zahl teilen, ohne dass ein Rest / Kommazahl entsteht. Die Zahl 11 ist nur durch 1 und sich selbst - also 11 - teilbar. Damit ist die Zahl 11 eine Primzahl. Genauso wie die folgenden Zahlen:

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 ....

Tipp der Redaktion:
Angeblich ist die Allgemeinbildung der deutschen Schüler so schlecht...

Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung dient dazu, eine Zahl in möglichst kleine Produkte zu verwandeln. Oder anders ausgedrückt: Eine Zahl in möglichst kleine Multiplikationen von Primzahlen zu zerlegen. Dies lässt sich am Besten anhand von Beispielen zeigen.

Beispiel 1:

  • 24 = 2 · 12
  • 24 = 2 · 2 · 6
  • 24 = 2 · 2 · 2 · 3
  • Die Zahlen 2 und 3 sind die Primzahlen

Beispiel 2:

  • 90 = 2 · 45
  • 90 = 2 · 5 · 9
  • 90 = 2 · 5 · 3 · 3
  • Die Zahlen 2, 3 und 5 sind die Primzahlen

Teiler und Vielfache: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem größten gemeinsamen Teiler, kurz ggT genannt. Dabei werden zwei Zahlen "zerlegt" und untersucht, welche größtmögliche Zahl beide haben. Auch das lässt sich am Besten anhand von Beispielen verstehen.

Beispiel 1 (Zahlen 6 und 12):

  • Die Teiler von 6: 1, 2, 3, 6
  • Die Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • Die Zahl 6 ist die größte Zahl, die bei beiden Teilern vorkommt

Beispiel 2 (Zahlen 36 und 48):

  • Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  • Teiler von 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  • Die Zahl 12 ist die größte Zahl, die bei beiden Teilern vorkommt


Nochmal zum Mitdenken: Für beide Zahlen werden die Teiler gesucht. Dazu wird geprüft, durch welche Zahl sich teilen lässt, ohne dabei einen Rest / eine Kommazahl zu erhalten. Sind alle Teiler gefunden, wird nachgesehen, welche die größte Zahl ist, die bei beiden Teilern zu finden ist.

Teiler und Vielfache: Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Fehlt uns nun noch das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV genannt. Hier werden erneut zwei Zahlen betrachtet. Dabei wird die jeweilige Zahl mit 2, 3, 4 etc. multipliziert und in einer Reihe aufgeschrieben. Dann wird nachgesehen, wo die kleinste gemeinsame Zahl zu finden ist.

Beispiel 1 (kgV von 6 und 18):

  • Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24....
  • Vielfache von 18: 18, 36, 54....
  • Kleinste gemeinsame Zahl ist somit die 18.

Beispiel 2 (kgV von 12 und 18):

  • Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60 ....
  • Vielfache von 18: 18, 36, 54, 72, 90 ...
  • Kleinste gemeinsame Zahl ist somit die 36.

Übungsaufgaben / Klausuraufgaben

Das mit Teilern, Vielfachen etc. lässt sich sehr gut bei der Bruchrechnung üben, weil dies genau dort angewendet wird. Wer üben möchte, schaut also am Besten in unserem Bruchrechnungs-Bereich einmal vorbei.

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