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Stochastik

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 07. September 2014 um 14:00 Uhr

In diesem Abschnitt erhaltet ihr eine Einführung in die Stochastik / Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei erklären wir Begriffe wie Ereignisbaum, Stichprobe, absolute Häufigkeit und einige weitere.

Viele Menschen wünschen sich, Ereignisse vorhersagen zu können. Nur ein kleines Beispiel: "Kopf oder Zahl?" heißt es oftmals, wenn eine Münze geworfen wird.  Auf welcher der beiden Seiten die Münze landet, wisst ihr natürlich nicht. Nur eine Wahrscheinlichkeit kann angegeben werden. Es gibt zwei Seiten: Kopf oder Zahl. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für Wappen 1/2 und für Münze auch 1/2. Und das bringt uns zum Ereignisbaum.

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Ereignisbaum

Das Beispiel mit der Münze von eben zeichnen wir in einen Ereignisbaum ein. Es gibt zwei Möglichkeiten ( Wappen, Zahl ) die bei einem Wurf eintreten können, folglich gibt es zwei Pfade. Die Wahrscheinlichkeit ist 1/2 für Wappen und 1/2 für Zahl, diese Werte werden an die Pfade geschrieben. Aber seht selbst:

Stochastik Ereignisbaum

Man kann alle Möglichkeiten, die existieren, zu einer Ergebnismenge "M" zusammenfassen. Für unseren Fall wäre diese: M = { Wappen, Zahl }. Nun interessiert natürlich, was bei einem realen Experiment tatsächlich passiert. Seht euch dazu einmal die folgende Tabelle an, welche im Anschluss erklärt wird.

Stochastik Stichprobe

Die erste Spalte zeigt das Ergebnis an. In der zweiten Zeichnen wir die Anzahl ein, die  wir dann für die Spalte ganz rechts abzählen. In unserem Fall wurden 17 mal Wappen und 13 mal Zahl geworfen. Es gab also 30 Wurfversuche. Sicherlich fragen sich jetzt einige: Wieso ist die Anzahl von Wappen und Zahl nicht gleich? Schließlich haben wir die Wahrscheinlichkeit mit 1/2 für Wappen und Zahl angegeben. Somit hätten wir bei 30 Versuchen eigentlich 15 Wappen und 15 Zahl erreichen müssen? Die Antwort: Wir geben hier eine Wahrscheinlichkeit an. Würden wir statt 30 Versuchen nun 300 Versuche machen, würden wir recht nahe an eine gleiche Verteilung ran kommen. Ihr solltet also sehr viele Versuche durchführen, um ein gutes Ergebnis zu bekommen.

Noch ein paar Definitionen: Beschreibt man ein Zufallsexperiment durch Ausprobieren, so nimmt man eine Stichprobe. Der Umfang der Stichprobe ist die Anzahl N, in unserem Beispiel 30. Die Anzahl des Ereignisses wird "Häufigkeit eines Ereignisses" genannt. Die Summe aller Häufigkeiten wird als n(e) bezeichnet und ist so groß wie die Anzahl N der Stichprobe. Zu dem hat man noch die relative Häufigkeit definiert. Es gilt der folgende Zusammenhang:

Formel: h(e) = n(e) : N

  • "h(e)" wird als relative Häufigkeit bezeichnet
  • "n(e)" ist die absolute Häufigkeit
  • "N" ist der Umfang der Stichprobe


Mehrstufige Experimente

Manchmal will man jedoch nicht Wissen, ob Kopf oder Zahl bei einem Münzwurf fällt, sondern ob man zweimal Kopf oder Zahl hintereinander wirft. So etwas wird als mehrstufiges Experiment bezeichnet. Schaut euch einmal den folgenden Ereignisbaum an, darunter findet ihr dann einige Erklärungen.

Stochastik Ereignisbaum Mehrstufig

Wir beginnen ganz links. Soll nun Wappen-Wappen fallen, folgen wir dem Pfad ganz oben bis zum Ende ( WW ). Soll hingegen erst Zahl, dann Wappen fallen, gehen wir zu Beginn den Pfad nach unten ( Z ) und dann den Pfad zum Wappen ( W ). Die Wahrscheinlichkeit beträgt wie auch beim einstufigen Experiment hier 1/2.  Wollen wir nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein gewisser Pfad eintritt, müssen wir einfach die jeweiligen Werte miteinander multiplizieren. Für den Fall Wappen-Wappen wäre dies 1/2 · 1/2 = 1/4.

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