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Zufallsexperimente ( Einstufig / Mehrstufig )

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 07. September 2014 um 14:00 Uhr

Mit so genannten Zufallsexperimenten befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, was man unter einem Zufallsexperiment versteht und was es mit einstufigen und mehrstufigen Zufallsexperimenten auf sich hat. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.

Beginnen wir mit der Definition des Begriffs Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Beispiel: Ein Würfel wird geworfen. Auf welcher Seite er landet, ist vor Abwurf des Würfels aus der Hand nicht zu sagen.

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Einstufiges Zufallsexperiment

Unter einem einstufigen Zufallsexperiment versteht man ein Zufallsexperiment, welches nur ein einziges Mal durchgeführt wird. Beispiele:

  • Ein Würfel wird einmal geworfen
  • Ein Münze wird einmal geworfen

In den meisten Fällen ist es notwendig, einen Versuch mehrfach durchzuführen. So könnte beim Wurf eines Würfels die Zahl 4 gewürfelt werden. Doch nach einem Versuch könnte man glauben, dass bei einem Würfel immer die Zahl 4 geworfen wird. Aus diesem Grund sind einstufige Zufallsexperimente in den meisten Fällen nicht aussagekräftig. Deshalb sehen wir uns im nun Folgenden den mehrstufigen Zufallsversuch bzw. das mehrstufige Zufallsexperiment näher an.


Mehrstufiges Zufallsexperiment

Von einem mehrstufigen Zufallsexperiment sprich man, wenn ein zufälliger Vorgang mehrfach nacheinander durchgeführt wird. Beispiel: Ein Würfel wird mehrfach hintereinander geworfen. Besteht ein mehrstufiger Zufallsversuch aus k - Teilversuchen, so spricht man von einem k-stufigen Zufallsexperiment. Der Ausgang eines Zufallsexperimentes wird dabei Ergebnis genannt. Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.


Die Ergebnisse mehrstufiger Versuche stellt man oftmals in so genannten Baumdiagrammen dar. Diese enthalten alle Möglichkeiten, welche bei einem Zufallsexperiment auftreten können. Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel.

Beispiel:

Wir werfen eine Münze. Dabei interessiert uns zunächst die Ergebnismenge "M" für dieses Experiment. Im Anschluss soll die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass wir zwei Mal das Ergebnis "Wappen" beim Münzwurf erreichen.

Lösung:

  • Wir können bei einem Münzwurf die Ergebnisse Wappen und Zahl erreichen. Damit lautet die Ergebnismenge: M = { Wappen, Zahl }.
  • Wir zeichnen ein Baumdiagramm, mit W = Wappen und Z = Zahl  ( Erklärung unterhalb )

Stochastik Ereignisbaum Mehrstufig

Beim jedem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit Wappen oder Zahl zu erhalten gleich groß. Aus diesem Grund notieren wir sowohl für die erste, als auch für die zweite Stufe jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent = 0,5.  Soll nun Wappen-Wappen fallen, folgen wir dem Pfad ganz oben bis zum Ende ( WW ). Soll hingegen erst Zahl, dann Wappen fallen, gehen wir zu Beginn den Pfad nach unten ( Z ) und dann den Pfad zum Wappen ( W ). Die Wahrscheinlichkeit beträgt wie auch beim einstufigen Experiment hier jeweils 1/2.  Wollen wir nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein gewisser Pfad eintritt, müssen wir einfach die jeweiligen Werte am Pfade miteinander multiplizieren. Für den Fall Wappen-Wappen wäre dies 1/2 · 1/2 = 1/4.

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