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Ableitung: Faktorregel, Potenzregel und Summenregel (Ableitungsregel)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 22. November 2014 um 13:10 Uhr

Wir beginnen in diesem Bereich mit dem Ableiten von Funktionen unter dem Einsatz so genannter Ableitungsregeln. Dabei schauen wir uns zunächst die Faktorregel, Potenzregel und die Summenregel an. Wie immer liefern wir dazu einige Beispiele.

Erst einmal eine kleine Anmerkung: Wer den Artikel Grundlagen und Steigung zur Ableitung (Link öffnet in neuem Browser-Fenster) noch nicht gelesen hat, sollte dies am besten tun. Dort wird klar, wofür man die Differentialrechnung überhaupt benötigt. Wer dies gelesen hat, kann nun mit der Faktorregel und Potenzregel beginnen.

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Faktorregel + Potenzregel

Beginnen wir mit der Faktorregel und Potenzregel. Ziel ist es, Funktionen wie zum Beispiel f(x) = y = x4 oder f(x) = y = 3x2 oder auch f(x) = y = 5x abzuleiten. Allgemein gilt: y = xn mit der Ableitung y' = n · xn-1. Ein Faktor bleibt erhalten. Hier die allgemeine Anwendung der Faktorregel und Potenzregel, einige Beispiele folgen anschließend:

  • Schreibt euch die Aufgabenstellung in der Form y = ... auf
  • Schreibt darunter y' =
  • Schreibt den Exponent von x hinter y' =
  • Schreibt dann das x hin
  • Der Exponent für die Ableitung wird um eins reduziert.
  • Der Faktor bleibt erhalten

Das klingt jetzt erst einmal etwas kompliziert. Die folgenden Beispiele verdeutlichen dies:

Tabelle nach rechts scrollbar
y = f(x) y' = f'(x)
x2 2x
x3 3x2
x4 4x3
2x3 2 · 3 · x2 = 6x2
5x6 5 · 6 · x5 = 30x5
14 · x2 14 · 2 · x1 = 28x
4x10 4 · 10 · x9 = 40x9
5x 5 · x0 = 5
5 0

Wie das letzte Beispiel zeigt: Die Ableitung einer Zahl ( ohne x ) ist stets Null. Geht alle Beispiele gründlich durch, dann sollten euch die Zusammenhänge klar werden.


Summenregel

Die Summenregel besagt: Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden. Auch dies lässt sich am besten anhand von einigen Beispielen zeigen.

Tabelle nach rechts scrollbar
y = f(x) y' = f'(x)
x2 + x2 2x + 2x
3x + 2x3 3 + 2 · 3 · x2
5x2 + 10x3 5 · 2x + 10 · 3x2
3x2 + 2x3 + 4x3 3 · 2x + 2 · 3x2 + 4 · 3x2

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