Lineare Gleichungssysteme lösen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Freitag, 19. September 2008 um 11:26 Uhr

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Lösen linearer Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen. Dabei zeigen wir euch zunächst, was es damit auf sich hat und wie man diese Aufgaben erfolgreich meistert.

Bevor wir hier mit dem Lösen von Gleichungssystemen beginnen, muss eines noch klar gestellt werden: Wenn ihr noch Probleme beim Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten ( z.B.: 5x + 2 = 3 ) habt, dann solltet ihr unbedingt noch einmal unser Kapitel zum Lösen von Gleichungen aufsuchen und dieses lesen. Alle anderen können gleich mit linearen Gleichungssystemen loslegen und den folgenden Link ignorieren.

Gleichungssysteme Video:
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Gleichungssysteme mit 2 Variablen: Einführung

Zunächst einmal solltet ihr Wissen, was man unter einem Gleichungssystem mit zwei Variablen überhaupt versteht. Dazu erst einmal ein kleines Beispiel: Ihr geht einkaufen und wisst, dass 6 Äpfel und 12 Birnen besonders guter Qualität 30 Euro kosten. Und ihr wisst, dass 3 Äpfel und 3 Birnen 9 Euro kosten. Die Frage lautet nun: Was kostet ein Apfel oder eine Birne? Da die Begriffe Äpfel und Birnen zu lange sind, setzen wir für den Preis für einen Apfel "x" und für den Preis einer Birne "y" ein. Daraus entstehen die folgenden Gleichungen ( Vergleicht diese mit den Angaben im Text! ):

Tabelle nach rechts scrollbar
6 Äpfel und 12 Birnen kosten 30 Euro
6 x + 12 y = 30
3 Äpfel und 3 Birnen kosten 9 Euro
3 x + 3 y = 9

Das sieht natürlich noch nicht so sonderlich übersichtlich aus. Aus diesem Grund hat man in der Mathematik die folgende Schreibweise eingeführt, um für mehr Übersicht zu sorgen:

Tabelle nach rechts scrollbar
| 6x + 12y = 30 | Gleichung Nr. 1
| 3x + 3y = 9 | Gleichung Nr. 2

Ein solches Gleichungssystem deutet an: Diese Gleichungen gehören zu einander. Dies ist auch der Grund, warum man sie gemeinsam lösen muss. Ziel ist es, für x und y eine Zahl zu erhalten, die beide Gleichungen erfüllt. Und darum kümmern wir uns jetzt.

Gleichungssystem mit 2 Variablen: Einsetzungsverfahren

Ich möchte hier zwei Verfahren vorstellen, um solch ein lineares Gleichungssystem zu lösen: Das Einsetzungsverfahren und das Gauß-Eliminationsverfahren. Beginnen möchte ich mit dem Einsetzungsverfahren, das bei 2 Variablen in 2 Gleichungen noch gut funktioniert ( bei mehr Variablen ist dieses Verfahren zu aufwendig ). Beim Einsetzungsverfahren, löst man eine der Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt diese in die andere Gleichung ein.

Tun wir dies anhand unseres Beispiels von eben. Die erste Gleichung soll nach x aufgelöst werden:

Tabelle nach rechts scrollbar
6x + 12y = 30 | -12y
6x = 30 - 12y | :6
x = 5 - 2y

Wir haben am Ende nun eine Gleichung erhalten, die nach x aufgelöst ist. Das was rechts des "=" ist, setzen wir nun in die zweite Gleichung unseres Gleichungssystems von oben ein, wobei das, was wir einsetzen, immer in Klammern gesetzt wird! Das sieht dann so aus:

Tabelle nach rechts scrollbar
3x + 3y = 9 | Einsetzen
3 ( 5 - 2y ) + 3y = 9 | Ausmultiplizieren
15 - 6y + 3y = 9 | Zusammenfassen
15 - 3y = 9 | - 15
-3y = -6 | ·(-1)
3y = 6 | : 3
y = 2

Wir haben nun eine Lösung für y berechnet. Diese Lösung wir nun in eine der Gleichungen eingesetzt die sowohl x, als auch y enthält.

Tabelle nach rechts scrollbar
x = 5 - 2y | y = 2 einsetzen
x = 5 - 2 · (2) | Ausmultiplizieren
x = 5 - 4 | Zusammenfassen
x = 1

Damit erhalten wir die Lösungen x = 1 und y = 2 für unsere Gleichungen. Somit kostet ein Apfel 1 Euro und eine Birne 2 Euro. Wenn wir keinen Rechenfehler gemacht haben, müssen nun beide Gleichungen stimmen. Wir machen hier einfach mal eine Probe.

Tabelle nach rechts scrollbar
6x + 12 y = 30 | x=1 und y=2 einsetzen
6·(1) + 12·(2) = 30 | Ausmultiplizieren
6 + 24 = 30 | Addieren
30 = 30 | Stimmt!

Tabelle nach rechts scrollbar
3x + 3y = 9 | x = 1 und y = 2 einsetzen
3·(1) + 3·(2) = 9 | Ausmultiplizieren
3 + 6 = 9 | Addieren
9 = 9 | Stimmt !

Die Gleichungen gehen am Ende auf: 30 = 30 und 9 = . Damit stimmt die Lösung. Wenn wir zum Beispiel 20 = 30 herausbekommen hätten, müsste man die komplette Rechnung von vorne noch einmal nachprüfen! Es lohnt sich also, keine Rechenfehler zu machen.

Gleichungssystem mit 2 Unbekannten: Gauß-Verfahren

Wir haben soeben das Einsetzungsverfahren kennen gelernt. Nun zeige ich euch eine weitere Möglichkeit, diese Gleichungen zu lösen. Es wird Gauß-Eliminationsverfahren genannt und wurde nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß benannt. Wie der Name schon vermuten lässt, werden hier Variablen eliminiert. Dies möchten wir anhand der selben Gleichungen durchführen, die wir schon oben angegeben hatten. Zur Erinnerung:

Tabelle nach rechts scrollbar
| 6x + 12y = 30 | Gleichung Nr. 1
| 3x + 3y = 9 | Gleichung Nr. 2

Ziel ist es nun, entweder x oder y erst einmal los zu werden, sprich zu eliminieren. Wir haben in der ersten Gleichung eine 6x und in der zweiten Gleichung eine 3x am Anfang stehen. Würden wir ebenfalls eine 6x in der zweiten Gleichung haben am Anfang, könnten wir die beiden von einander abziehen, so dass die Variable x raus fällt. Dies sieht wie folgt aus:

Tabelle nach rechts scrollbar
3x + 3y = 9 | ·2
6x + 6y = 18

Damit sieht unser Gleichungssystem nun wie folgt aus:

Tabelle nach rechts scrollbar
| 6x + 12y = 30 | Gleichung Nr. 1
| 6x + 6y = 18 | Gleichung Nr. 2

Diese beiden Gleichungen ziehen wir nun voneinander ab:

Tabelle nach rechts scrollbar
| 6x + 12 y = 30 | Gleichung Nr. 1
- | 6x + 6y = 18 | Gleichung Nr. 2
6y = 12

Teilt man diese letzte Gleichung durch 6, erhält man y = 2. Diese y = 2 wird wie beim Einsetzungsverfahren einfach in eine der beiden Startgleichungen eingesetzt und man erhält x =1.

Welches Verfahren ihr zum lösen eines linearen Gleichungssystems einsetzt, ist letztlich euch überlassen ( sofern der Lehrer es euch nicht vorschreibt ). Die Geschmäcker gehen da auseinander. Jedoch gerade bei Gleichungssystemen mit mehr als zwei Variablen kann das Einsetzungsverfahren sehr aufwendig werden. Aus diesem Grund mein Tipp: Ab 3 Variablen immer Gauß-Verfahren verwenden.

Lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten: Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren funktioniert für 2 Unbekannte, wieso sollte es nicht auch für 3 Unbekannte funktionieren? Und genau das tut es. Im nun folgenden zeigen wir Euch ein Beispiel für das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit 3 Variablen. Leider wird es mit zunehmender Anzahl von Unbekannten unübersichtlicher. Versucht deshalb dem Beispiel aufmerksam zu folgen:

Tabelle nach rechts scrollbar
| -x + y + z = 0 | 1.Gleichung
| x - 3y -2z = 5 | 2. Gleichung
| 5x + y + 4z = 3| 3. Gleichung

In der ersten Gleichung haben wir -x und in der zweiten +x. Wenn wir die beiden addieren, fliegt das x raus. Das machen wir dann gleich mal:

Tabelle nach rechts scrollbar
| -x + y + z = 0 |
| x - 3y -2z = 5 | Addieren
-2y - z = 5

Jetzt haben wir aus den ersten beiden Gleichungen eine Gleichung mit zwei Unbekannten gemacht. Dooferweise hat die 3. Gleichung ebenfalls noch ein vorhandenes "x" drin. Dieses muss nun auch noch eliminiert werden. Dazu nehmen wir uns die 3. Gleichung und eine der beiden anderen Ausgangsgleichungen. Ich nehme jetzt mal die 1. Gleichung noch und multipliziere diese mit 5. Dies ergibt: -5x + 5y + 5z = 0. Diese umgeformte 1. Gleichung wir mit der 3. Gleichung addiert.

Tabelle nach rechts scrollbar
| -5x + 5y + 5z = 0 | 1. Gleichung
| 5x + y + 4z = 3 | 3. Gleichung
6y + 9z = 3 Addition der Gleichungen

Wir haben nun zwei Gleichungen "erzeugt", welche nur zwei Unbekannte haben. Diese beiden Gleichungen lauten nun:

Tabelle nach rechts scrollbar
| -2y -z = 5 | Erste neue Gleichung
| 6y + 9z = 3| Zweite neue Gleichung

Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen. Nun geht das selbe Spielchen los, wie wir es bereits in den Abschnitten weiter vorne besprochen haben. Um hier nun das y zu eliminieren, wird die zweite neue Gleichung durch 3 dividiert. Dies liefert: 2y + 3z = 1. Nun kann wieder addiert werden:

Tabelle nach rechts scrollbar
-2y - z = 5 1. neue Gleichung
2y + 3z = 1 2. neue Gleichung, wird nun addiert
2z = 6 | : 2
z = 3

Wir erhalten z = 3. Diese setzen wir in die Gleichung -2y - z = 5 ein und erhalten y = -4. Setzen wir dies nun in die Startgleichung -x + y + z = 0 ein, ergibt sich noch x = -1.

Tipps zum Lösen von Gleichungssystemen

Hier noch ein paar Tipps und Anmerkungen:

  • Übt erst einmal das Lösen von Gleichungssystemen mit 2 Unbekannten, bevor ihr noch mehr nehmt.
  • Es ist ganz natürlich, dass ihr am Anfang einige Probleme haben werdet und die Fehler erst einmal nicht seht. Ihr müsst dann entweder gründlich neu suchen oder die Aufgabe noch einmal von vorne rechnen.
  • Versucht euch das Leben möglichst leicht zu machen und schaut euch erst einmal das System an, um eine möglichst leicht zu eliminierende Variable als Erstes zu beseitigen.
  • Löst unsere Übungsaufgaben auf der nächsten Seite um Sicherheit zu bekommen.

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