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Ortskurve Extrempunkt / Wendepunkt

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 26. Juni 2011 um 23:09 Uhr

In diesem Artikel geht es um die Ortskurve von Extrempunkten bzw. Wendepunkten bei Funktionsscharen / Kurvenscharen. Dies wird durch allgemeine Vorgehensweisen und Beispiele gezeigt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Erklärung als Video:
Dieses Thema liegt auch als Video vor. In diesem werden entsprechende Beispiele vorgestellt. Per Button kann auch in den Vollbildmodus gewechselt werden. Das Video ist auch direkt in der Sektion Ortskurve Video aufrufbar. Bei Abspielproblemen hilft der Artikel Video Probleme.

Wichtiger Hinweis: In diesem Artikel sehen wir uns, wie man Ortskurven bei Kurvendiskussionen findet. Die Ortskurve in der Systemtheorie / Regelungstechnik ist eine andere Baustelle und wird hier nicht behandelt.

Im Zuge von Untersuchungen bei Funktionsscharen bzw. Kurvenscharen versucht man oftmals Ortskurven der Extrempunkte oder Wendepunkte zu finden. Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. Um die folgenden Abschnitte verstehen zu können solltet ihr wissen was Extrempunkte bzw. Wendepunkte sind. Wem dies noch nicht klar ist dem helfen hoffentlich die folgenden Artikel:

Ortskurve Extremwerte: Kurvenschar & Funktionsschar

Beginnen wir mit der Ortskurve der Extremwerte, also der Hochpunkte und Tiefpunkte. Es geht darum eine Funktion zu finden, auf der alle Extremwerte der Funktion in Abhängigkeit des Parameters sind. Zum einfacheren Verständnis folgt ein Vorgehensplan und dann ein Beispiel.

Vorgehensplan:

  • Die Funktion zweimal ableiten.
  • Wir setzen die erste Ableitung gleich Null.
  • Prüfen ob ein Extrempunkt wirklich vorliegt
  • Den x-Wert des Extremwerts in f(x) einsetzen und y berechnen.
  • Den x-Wert des Extremwerts nach der Formvariable umstellen und
  • Damit in den y-Wert des Extrempunkts gehen um die Ortskurve zu ermitteln.

Beispiel:

Gegeben sei die Funktionsschar / Kurvenschar f(x) = x2 + kx + 1. Es soll nachgewiesen werden, dass die Funktion einen Extremwert in Abhängigkeit von k besitzt. Und es soll eine Ortskurve gefunden werden, auf der alle Extrempunkte liegen.

Lösung: Wir leiten die Funktion zweimal ab. Im Anschluss setzen wir die erste Ableitung gleich Null und erhalten x = -0,5k. Mit der zweiten Ableitung prüfen wir noch kurz nach, dass wir wirklich einen Extrempunkt vorliegen haben. Mit x = -0,5k gehen wir noch in die Ausgangsfunktion f(x) = x2 + kx + 1 und erhalten damit y = -0,25k2 + 1. Wir wissen damit, dass der Extrempunkt bei PE ( -0,5k | -0,25k2 + 1 ) liegt. Fehlt uns noch die Ortskurve. Dazu stellen wir x = -0,5k nach k um und erhalten k = -2x. Und damit gehen wir in die Gleichung für den Y-Wert: So wird y = -0,25k2 + 1 zu y = -x2 + 1. Die Ortskurve lässt sich mit y = -x2 + 1 beschreiben.

Ortskurve Extrempunkte Beispiel 1

Ortskurve Wendepunkte: Kurvenschar & Funktionsschar

Kommen wir zur Ortskurve der Wendepunkte. Es geht darum eine Funktion zu finden, auf der alle Wendepunkte der Funktion in Abhängigkeit des Parameters sind. Zum einfacheren Verständnis folgt ein Vorgehensplan und dann ein Beispiel.

Vorgehensplan:

  • Die Funktion dreimal ableiten.
  • Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null.
  • Prüfen ob ein Wendepunkt wirklich vorliegt
  • Den x-Wert des Wendepunkts in f(x) einsetzen und y berechnen.
  • Den x-Wert des Wendepunkts nach der Formvariable umstellen und
  • Damit in den y-Wert des Wendepunkts gehen um die Ortskurve zu ermitteln.

Beispiel:

Gegeben sei die Funktion f(x) = -x3 + tx2. Wir leiten die Funktion dreimal ab und setzen die zweite Ableitung Null. Wir erhalten x = t : 3. Mit der dritten Ableitung prüfen wir ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt. Mit diesem x-Wert gehen wir in f(x) und berechnen noch den Y-Wert. Jetzt wissen wir wo sich der Wendepunkt in Abhängigkeit von t wirklich befindet. Den x-Wert des Wendepunkts stellen wir nach t um und setzen diesen in den y-Wert des Wendepunkts ein. Dadurch erhalten wir y = 2x3.

Ortskurve Wendepunkte Beispiel 1

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