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Potenzen / Potenzieren von Zahlen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 04. September 2008 um 01:05 Uhr

Das Potenzieren in der Mathematik stellt eine abkürzende Schreibweise da. Wie genau damit eine Multiplikation abkürzt werden kann, erklären wir im nun Folgenden Anhand einiger Beispiele. Darüber hinaus bieten wir Übungsaufgaben bzw. alte Klausuraufgaben mit Lösungen an.

Um in der Mathematik Multiplikationen abzukürzen und damit sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen, wurden die so genannten Potenzen eingeführt. Am Einfachsten ist dies durch Beispiele zu erklären:

  • 102 = 10 · 10
  • 103 = 10 · 10 · 10
  • 104 = 10 · 10 · 10 · 10

Wie man sehen kann, steht bei 102 die Zahl 10 zweimal da mit einen Mal-Zeichen dazwischen. Bei 103 wird die Zahl 10 dreimal hingeschrieben und multipliziert etc.

Potenzen Video:
Dieser Artikel liegt auch als Video vor.

  • Hinweise: Dies ist noch ein Tafelvideo. Eine Neuauflage in HD ist geplant. Der Abruf ist auch direkt in der Rubrik Potenzen Video möglich.
  • Probleme: Bei Abspielproblemen bitte den Artikel Video Probleme aufrufen.

Basis und Exponent

Zeit einige allgemeine Dinge zu klären. Die Darstellung wird mit an durchgeführt. Das a war in unserem Beispiel von oben die Zahl 10. Das klein geschriebene n weiter oben war in unserem Beispiel 2 oder 3 oder 4. Das a wird normalerweise als Basis bezeichnet, das n ist der Exponent (auch Hochzahl genannt). Es folgen ein paar weitere Beispiele zur Verdeutlichung:

  • 23 = 2 · 2 · 2 = 8
  • 74 = 7 · 7 · 7 · 7 = 2401
  • 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
  • 84= 8 · 8 · 8 · 8 = 4096

Die Beispiele zeigen zu dem recht gut: Auch größere Zahlen lassen sich durch die Potenz-Schreibweise sehr schön und einfach darstellen.

Potenzen: Negative Zahlen + Rechengesetze

Um den folgenden Abschnitt zu verstehen, sind Kenntnisse über Variablen notwendig. Ich empfehle daher unseren Artikel zu Variablen zu lesen. Zunächst wenden wir uns jedoch noch negativen Zahlen und Kommazahlen/Dezimalzahlen zu. Die folgenden Beispiele zeigen dies:

  • 1,24 = 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 = 2,0736
  • 2,343 = 2,34 · 2,34 · 2,34 = 12,812904
  • (-3)4 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 81
  • (-1,4)2= (-1,4) · (-1,4) = 1,96

Rechengesetze:

Folgende Rechengesetze gelten für das Multiplizieren von Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. Es folgt nun die allgemeine Rechenvorschrift sowie zwei Beispiele:

an · am = an+m

Beispiele:

  • 25 · 23 = 25+3 = 28 = 256
  • 4-3 · 47 = 4-3+7 = 44 = 256

Dieses Gesetz darf man jedoch nicht mit einem anderen Gesetz der Potenzrechnung verwechseln. Dieses besagt: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, in dem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Es folgt nun die allgemeine Rechenvorschrift sowie zwei Beispiele:

an · bn = (a · b)n

Beispiele:

  • 53 · 23 = (5 · 2)3 = 103 = 1000
  • 35 · 25 = (3 · 2)5 = 65 = 7776

Und noch ein weiteres Potenzgesetz möchten wir euch in diesem Zusammenhang nicht vorenthalten. Dieses besagt: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. Es folgt nun die allgemeine Rechenvorschrift sowie ein Beispiel:

(an)m = an·m

Beispiel:

  • (41)2 = 41·2 = 42 = 16

Folgende Regel gilt für das Dividieren zweier Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. Wie immer die Rechenvorschrift und zwei Beispiele:

an : am = an-m

Beispiele:

  • 25 : 23 = 25-3 = 22 = 4
  • 43 : 42 = 43-2 = 41 = 4

Dieses Potenzgesetz sollte nicht mit dem folgenden Gesetz verwechselt werden: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, in dem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält:

an : bn = (a : b)n

Beispiele:

  • 42 : 22 = (4 : 2)2 = 22 = 4
  • 93 : 33 = (9 : 3)3 = 33 = 27

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