Ganze Zahlen ▷ Beispiele und Erklärung

Ganze Zahlen bekommst du hier mit Beispielen erklärt. Dabei lernst du was ganze Zahlen sind und wie man mit dieser Zahlenart rechnet. Dabei sehen wir uns die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division an). Außerdem geht es um die Rechenregel Punkt vor Strich sowie die Klammerrechnung. Die Inhalte liegen als Text und als Video vor.

Ganze Zahlen sind Zahlen, die ohne ein Komma dargestellt werden können. Zu den ganzen Zahlen zählen die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, ...), die Zahl 0 und die natürlichen Zahlen mit einem Minus davor (-1, -2, -3, -4, ...). Zahlen mit einem Minuszeichen davor werden negative Zahlen genannt. Ganze Zahlen können sehr einfach mit einer Zahlengerade dargestellt werden.

Die ganzen Zahlen bestehen aus den positiven ganzen Zahlen (1, 2, 3, 4, ...) und lassen sich mit einem Zahlenstrahl darstellen. Die negativen ganzen Zahlen (-1, -2, -3, -4, ...) werden auf einer Zahlengerade eingetragen. Die ganzen Zahlen sind eine von vielen Zahlenarten, welche in der Mathematik behandelt werden.

Rechnen mit ganzen Zahlen

Alle Grundrechenarten werden auch auf ganze Zahlen angewendet. So kann sowohl mit positiven ganzen Zahlen als auch mit negativen ganzen Zahlen gerechnet werden. Die erste Grundrechenart ist die Addition. Die Addition bedeutet, dass auf der Zahlengerade nach rechts gegangen wird. Im nächsten Beispiel wird von der -3 um 4 nach rechts gegangen. Dies bringt als Ergebnis die Summe 1.

Die zweite Grundrechenart ist die Subtraktion. Beim Subtrahieren ganzer Zahlen wird auf der Zahlengerade nach links gegangen. Im nächsten Beispiel wird von der 1 um 4 nach links gegangen. Das Ergebnis ist die Differenz -3.

Bei ganzen Zahlen lässt sich sehr schön der Betrag einer Zahl zeigen. Der Betrag einer Zahl gibt an, wie weit diese Zahl von der 0 entfernt ist. So sind -2 und +2 von der 0 gleich weit entfernt.

Zwei ganze Zahlen heißen zueinander entgegengesetzt, wenn sie von 0 den gleichen Abstand haben. Eine Zahl und ihre entgegengesetzte Zahl besitzen verschiedene Vorzeichen. Beispiel: Die entgegengesetzte Zahl von +8 ist die -8. Mathematiker drücken dies oft so aus: Der Betrag von entgegengesetzten Zahlen ist immer gleich groß.

Vorzeichen und Rechenzeichen bei ganzen Zahlen

Das Rechnen mit ganzen Zahlen beinhaltet auch den Umgang mit negativen Zahlen. Es kann dabei passieren, dass ein Rechenzeichen und ein Vorzeichen aufeinander treffen. Dabei können auch zwei Zahlen miteinander multipliziert oder dividiert werden mit gleichen oder unterschiedlichen Vorzeichen. Sind zwei Zeichen dabei gleich werden sie zu einem Pluszeichen, sind die Zeichen unterschiedlich zu einem Minuszeichen.

Zum besseren Verständnis sehen wir uns eine Reihe an Beispielen dazu an.

Multiplikation ganzer Zahlen:

Werden zwei ganze Zahlen miteinander multipliziert ist das Ergebnis von den Vorzeichen der Ausgangszahlen (Faktoren) abhängig. Sind die Vorzeichen gleich (entweder beide positiv oder beide negativ) ist das Ergebnis positiv. Sind die Vorzeichen verschieden ist das Produkt negativ.

Division ganzer Zahlen:

Bei der Division verhalten sich die Vorzeichen genauso wie bei der Multiplikation. Das Ergebnis (Quotient) ist positiv wenn die Vorzeichen gleich sind. Ansonsten ist das Ergebnis negativ.

Das Rechnen mit ganzen Zahlen kann auch schwieriger werden. Daher sehen wir uns in den nächsten Abschnitten die Regelregeln für ganze Zahlen an. Dazu zählt die Regel von links nach rechts sowie Punkt vor Strich. Außerdem werden Klammern eingesetzt um die Reihenfolge der Berechnung zu ändern.

Ganzen Zahlen: Die Rechenregeln

Starten wir mit der einfachsten Rechenregel: von links nach rechts. Diese Regel besagt, dass wenn die Rechenzeichen gleiche Priorität haben einfach von links nach rechts gerechnet werden. Im nächsten Beispiel mit ganzen Zahlen wird daher erst 5 - 8 berechnet und im Anschluss 2 addiert.

Im nächsten Beispiel wird von der Zahl -7 noch 3 abgezogen. Im Anschluss wird 5 addiert. Das Ergebnis mit -5 ist ebenfalls negativ.

Nur in einfachen Fällen müssen keine weiteren Rechenregeln als von links nach rechts beachtet werden. Werden die Aufgaben zu ganzen Zahlen schwieriger muss Punkt vor Strich oder Klammer zuerst beachtet werden. Mehr dazu im nächsten Abschnitt.

Punkt vor Strich und Klammerrechnung

Die Regel Punkt vor Strich muss auch beim Rechnen mit ganzen Zahlen beachtet werden. Diese Rechenregel besagt, dass zuerst eine Multiplikation oder Division berechnet werden muss. Erst im Anschluss darf addiert oder subtrahiert werden.

Im nächsten Beispiel wird daher zu erst +2 mit -4 multipliziert. Da hier die Vorzeichen verschieden sind ist das Ergebnis mit -8 negativ. Von der 5 wird nun die 8 subtrahiert, ergibt -3 als Differenz.

Die Regel Punkt vor Strich kann mit einer Klammer "umgangen" werden. Eine Klammer bzw. deren Inhalt wird zuerst berechnet. Im nächsten Beispiel wird daher zunächst die Klammer mit -6 : 3 berechnet. Im Anschluss wird die Regel Punkt vor Strich eingesetzt. Die Multiplikationen werden dabei von links nach rechts durchgeführt. Beachtet die Vorzeichen.

Für das Rechnen mit ganzen Zahlen gelten selbstverständlich noch die Rechenregeln der Mathematik. Dies umfasst das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.

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