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Äquivalenzumformung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Montag, 28. Januar 2019 um 18:52 Uhr

Mit der Äquivalenzumformung befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, wofür man Äquivalenzumformungen benötigt und liefern euch passende Gleichungen und Ungleichungen dazu. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.

Unter einer Äquivalenzumformung versteht man die Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt. Die umgeformte logische Aussage ist also für dieselbe Variablenbelegung wahr, wie die ursprüngliche Aussage. Die Lösungsmengen sind gleich. Äquivalenzumformungen stellen die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen dar.

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Äquivalenzumformung bei Gleichungen

Im nun Folgenden soll eine Gleichung mit einer Unbekannten durch Äquivalenzumformungen gelöst werden. Diese Unbekannte wird im Unterricht meistens "x" genannt. Ziel ist es, dass am Ende "x = eine Zahl" steht. Es folgt ein ganz simples Beispiel, um euch einen Einstieg zu ermöglichen. Dieses wird anschließend erklärt.

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Beispiel 1:
x + 2 = 5 | -2
x = 3

In der ersten Zeile findet sich die Startgleichung, welche nach x aufgelöst wird. Um dies durchzuführen, müssen so genannte Äquivalenzumformungen durchgeführt werden. Dies bedeutet: Das Aussehen der Gleichung wird verändert, aber dennoch steht auf der linken Seite der selbe Wert wie auf der rechten Seite. Um nach "x" aufzulösen, muss die "2" auf der linken Seite beseitigt werden. Um eine +2 weg zu bekommen, muss mit "-2" gerechnet werden. Alle Rechenoperationen werden hinter ein "|" geschrieben. So wird nun "| -2" geschrieben, um klar zu machen, dass eine 2 abgezogen werden soll. Ganz wichtig: Rechenoperationen müssen auf beiden Seiten durchgeführt werden. Rechne ich auf der linken Seite "-2", muss ich dies auch auf der rechten Seite tun!

Äquivalenzumformung bei Ungleichungen

Kommen wir nun zur Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen: Bei Ungleichungen ist die eine Seite der Gleichung meist größer oder kleiner als die andere. Dies wird durch ein "<" ( kleiner ) oder ">" ( größer ) ausgedrückt, so wie dies bereits in der Grundlagen der Mathematik behandelt wurde. Darüber hinaus gibt es ein kleiner-gleich "≤" und ein größer-gleich "≥". Ungleichungen werden im Prinzip genauso gerechnet, wie normale Gleichungen. Nur eine Sonderregel muss noch beachtet werden:

  • Multipliziert oder dividiert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, so tauschen sich "<" und ">" bzw. "≤" und "≥" gegeneinander aus.

Diese Regel gilt es unbedingt zu beachten, wenn ihr mit Ungleichungen rechnet. Ansonsten dürften wohl einige Beispiele dies am Besten erklären.

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Beispiel 1:
4x + 10 ≥ 14 | -10
4x ≥ 4 | :4
x ≥ 1

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Beispiel 2:
-12x + 12 < 24 | -12
-12x < 12 | :-12
x > -1


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