Um das Thema "Nullstellen berechnen" kümmern wir uns in diesem Artikel. Wir sehen uns verschiedenste Funktionen an und berechnen dann deren Nullstellen. Aber natürlich wird am Anfang erst einmal erklärt, was eine Nullstelle überhaupt ist. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.
Die Nullstelle ist ein Begriff aus dem Bereich der Mathematik, der sich mit Funktionen und ihren Verläufen und Eigenschaften befasst. Dabei versteht man unter Nullstellen die x-Werte, die eingesetzt in eine Funktion f den Funktionswert Null liefern. Wie viele Nullstellen es gibt hängt von der jeweiligen Funktion ab. Die folgenden Grafiken zeigen euch Funktionen, bei denen die Nullstelle oder die Nullstellen mit einem kleinen grünen Kreuz markiert sind.
Wie viele Nullstellen eine Funktion hat - wenn sie denn überhaupt eine hat - hängt von der jeweiligen Funktion ab. Es gibt verschiedene Verfahren die Nullstellen zu berechnen, die man von der jeweiligen Funktion abhängig machen muss. Und diese sehen wir uns nun an.
Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form
Um hier die Nullstelle zu berechnen, setzt man y = 0. Für die eben genannten Fälle wären es folgende Gleichungen, die zu lösen sind:
Um die Berechnung der Nullstelle durchzuführen, stellt man die jeweilige Gleichung nach x um. Ausführlich wird dies im Artikel Gleichungen lösen behandelt. Soviel in Kurzform: Man formt die Gleichung so um, dass x auf einer Seite alleine steht. Für 0 = 3x + 2 erhält man dabei zunächst -2 = 3x und damit x = -2/3. Also liegt bei x = -2/3 eine Nullstelle.
Um eine quadratische Gleichung wie z.B. x2 + 2x + 1 = 0 nach x aufzulösen, setzen wir im nun Folgenden die PQ-Formel ein. Ich gebe euch nun erst einmal die Formel an sowie ein paar allgemeine Informationen. Keine Panik: Einige Beispiele erläutern dies im Anschluss.
So löst man eine quadratische Gleichung:
Soviel zur Theorie. Zeit dies Anhand von ein paar Beispielen zu klären. Verfolgt diese Beispiele anhand der 4-Punkte-Liste von eben.
Beispiel 1:
Erläuterungen: Die "3" vor dem x2 stört! Dort muss immer eine "1" stehen, sprich 1x2. Um dies zu erreichen, wird durch 3 dividiert. Danach wird p und q zugeordnet. Die Zahlen von p und q werden in die PQ-Gleichung eingesetzt. Danach wird der Ausdruck vor und unter der Wurzel berechnet. Anschließend wird die Wurzel aus dem Wert gezogen und dieser wird auf das Ergebnis von vorne einmal addiert und einmal subtrahiert. Eine quadratische Gleichung hat maximal zwei Lösungen im reellen.
Beispiel 2:
Erklärungen: Die ursprüngliche Aufgabe ist bereits in der richtigen Form. Deshalb kann p und q gleich bestimmt werden. Diese dann in die Gleichung einsetzen und ausrechnen. Wie ihr am Ergebnis seht, gibt es die Lösung -2 doppelt.
Es gibt noch zwei kleine Hinweise bei der Berechnung von quadratischen Gleichungen mit der PQ-Formel von uns:
Für beide Fälle findet ihr hier noch jeweils ein Beispiel:
Die Polynomdivision ist ein Verfahren der Mathematik, um Nullstellen von Polynomen zu berechnen. Die Berechnungsweise ähnelt der schriftlichen Division, die man bereits in der Grundschule kennen gelernt hat. Aus diesem Grund gehen wir im nun Folgenden erst einmal kurz auf die schriftliche Division ein und wenden dieses Wissen dann auf die Polynomdivision an.
Beispiel: Schriftliche Division ( Erklärung unterhalb )
Wie funktionierte das doch gleich nochmal? Hier die Vorgehensweise:
Bei der Polynomdivision dividiert man nun nicht zwei Zahlen, sondern ganze Terme. In der Mathematik bezeichnet der Begriff Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole ( für mathematische Verknüpfungen ) und Klammern enthalten kann. Um eine Polynomdivision durchzuführen, benötigt man einen Term und eine Nullstelle dieses Terms.
Diese Nullstelle zu finden, ist oft recht schwierig. In der Schule gibt der Lehrer bzw. die Lehrerin die Nullstelle in aller Regel vor. Ist dies nicht der Fall, kann eine Nullstelle durch Raten oder numerische Verfahren gefunden werden. Für die nun folgenden Beispiele, gehen wir davon aus, dass eine Nullstelle bereits gegeben ist.
Gegeben sei die Funktion y = f(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6. Durch probieren wurde eine Nullstellen bei x = 1 gefunden. Es soll nun die Polynomdivision durchgeführt werden, um im Anschluss alle Nullstellen zu finden.
Lösung: Wir dividieren die Funktion y = f(x) durch ( x - 1 ). Dies sieht wie folgt aus:
Wir dividieren hier zunächst x3 : x = x2. Im Anschluss multiplizieren wird x2 · ( x - 1 ) = x3 - x2. Anschließend wird ( x3 - 2x2 ) - ( x3 - x2 ) berechnet. Danach beginnt das Spiel wieder von vorne, bis die Division komplett ist. Die Vorgehensweise entspricht der schriftlichen Division. Das Ergebnis der Polynomdivision lautet x2 - x - 6. Ob das Ergebnis stimmt, erfahren wir durch eine Probe:
Probe: ( x2 - x - 6 ) · ( x - 1 ) = x3 - 2x2 -5x + 6 // Die Lösung stimmt
Um nun noch die restlichen Nullstellen zu berechnen, wenden wir die PQ-Formel auf x2 - x - 6 an und erhalten x2 = 3 und x3 = -2. Wir wissen somit, dass bei 1, 3 und -2 die Nullstellen liegen ( also wenn wir diese Zahlen für x einsetzen ). Das Polynom kann man somit in seine Linearfaktoren zerfallen lassen. f(x) = ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x + 2 ). Auch hier führen wir die Probe durch:
Probe: ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x + 2 ) = x3 - 2x2 - 5x + 6 // Die Lösung stimmt
Gegeben sei die Funktion y = f(x) = 3x3 - 10x2 + 7x - 12. Eine Nullstelle bei x = 3 sei bekannt. Gesucht sind alle Nullstellen von f(x).
Lösung: Wie dividieren zunächst die Funktion f(x) durch ( x - 3 ). Dies sieht wie folgt aus:
Auch hier berechnen wir Stück für Stück das Ergebnis. Zunächst wird 3x3 : ( x - 3 ) berechnet, das Ergebnis lautet 3x2. Wir multiplizieren zurück: 3x2 · ( x - 3 ) und erhalten 3x3 - 9x2. Dann subtrahieren wir wieder. Das Ergebnis der Polynomdivision lautet 3x2 - x + 4. Wir führen eine Probe zur Sicherheit durch.
Probe: ( x - 3 ) ( 3x2 -x + 4 ) = 3x3 - 10x2 + 7x - 12
Um weitere Nullstellen zu berechnen, wenden wir auf die 3x2 - x + 4 = 0 die PQ Formel an. Bei der Anwendung der PQ-Formel erhält man eine negative Zahl unter der Wurzel. Damit endet die Rechnung ( für Schüler ) und die einzige Nullstelle liegt bei x = 3.
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