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Algebra

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

Mit den Grundlagen der Algebra befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei wird zunächst kurz erklärt, was man unter der Algebra versteht und danach werden einige Themen erläutert. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Hinweis: Dies hier ist eine Übersichtsseite zum Thema Algebra. Zu vielen hier kurz vorgestellten Themen finden sich unterhalb Links mit weiteren Informationen + Beispielen und Videos.

Die Algebra ist ein Gebiet der Mathematik, das sich der Struktur, Relation und der Menge widmet. In der Schule und auch im Alltag wird Algebra häufig als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen bezeichnet. Wir sehen uns kurz einige wichtige Begriffe an und gehen dann auf Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme ein.

Variable:

Eine Variable ist sozusagen ein "Platzhalter" für eine Zahl. In der Mathematik wird in der Regel ein Buchstabe dafür eingesetzt. Das ist dann z.B. ein a, b, x oder y. Anstelle dieser Variable wird später eine Zahl eingesetzt. Einer Variable kann ein Wert zugewiesen werden. Es folgen ein paar Beispiele, wie so eine Zuweisung aussehen kann.

  • a = 3
  • b = 10
  • x = 3,12
  • y = 5,89


Im ersten Beispiel würde dies bedeuten, dass anstatt des "a" die Zahl 3 eingesetzt wird. Für das "y" wäre es die Zahl 5,89 ( letztes Beispiel ). Dieses Wissen über die Variablen wird im Abschnitt Funktionen benötigt.

Term:

In der Mathematik ( und damit auch in der Algebra ) bezeichnet der Begriff Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole ( für mathematische Verknüpfungen ) und Klammern enthalten kann. Damit sind Terme sozusagen die grammatisch korrekten Wörter bzw. Wortgruppen in der Sprache der Mathematik. Zum besseren Verständnis dieser Aussage, folgen nun eine Reihe an Beispiele zu Termen sowie auch zu dem, was man nicht als Term bezeichnet.

  • 2 + 0,5
  • a2 + b2 + c3
  • cos (x)
  • sin (x)

Gleichheitszeichen:

Das Gleichheitszeichen "=" steht in der Mathematik und in den exakten Naturwissenschaften zwischen zwei in ihrem Wert identischen Ausdrücken. So etwas kennt jeder schon aus der Grundschule, denn auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht der selbe Wert wir auf der rechten Seite. Einige Beispiele:

  • 3 + 2 = 5 und damit 5 = 5
  • 7 + 1 = 8 und damit 8 = 8
  • 2 + 2 = 4 und damit 4 = 4

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Algebra: Lineare Gleichungen

Wie schon in der Einleitung zum Thema Algebra angedeutet, soll nun eine Gleichung mit einer Unbekannten ( es gibt auch Gleichungen mit zwei und mehr Unbekannten, aber damit wollen wir euch hier nicht quälen ) zu lösen. Diese Unbekannte wird im Unterricht meistens "x" genannt. Ziel ist es, dass am Ende "x = eine Zahl" dasteht.  Es folgt ein ganz simples Beispiel, um euch einen Einstieg zu ermöglichen. Dieses wird anschließend erklärt.

Tabelle nach rechts scrollbar
Beispiel 1:

x + 2 = 5 | -2
x = 3

In der ersten Zeile findet sich die Startgleichung, welche nach x aufgelöst wird. Um dies durchzuführen, müssen sogenannte Äquivalenzumformungen durchgeführt werden. Dies bedeutet: Das Aussehen der Gleichung wird verändert, aber dennoch steht auf der linken Seite der selbe Wert wir auf der rechten Seite. Um nun nach "x" aufzulösen, muss die 2 auf der linken Seite "weggeschafft" werden. Um eine +2 weg zu bekommen, muss mit "-2" gerechnet werden. Alle Rechenoperationen werden hinter ein "|" geschrieben. So wird nun "| -2" geschrieben, um klar zu machen, dass eine 2 abgezogen werden soll. Ganz wichtig: Rechenoperationen müssen auf beiden Seiten durchgeführt werden. Rechne ich auf der linken Seite "-2", muss ich dies auch auf der rechten Seite tun!

Algebra: Ungleichungen lösen

Bei Ungleichungen ist die eine Seite der Gleichung meist größer oder kleiner als die andere.  Dies wird durch ein "<" ( kleiner ) oder ">" ( größer ) ausgedrückt, so wie dies bereits in der Grundlagen der Mathematik behandelt wurde. Darüber hinaus gibt es ein kleiner-gleich "≤"  und ein größer-gleich "≥". Ungleichungen werden im Prinzip genauso gerechnet, wie normale Gleichungen. Nur eine Sonderregel muss noch beachtet werden:

  • Multipliziert oder dividiert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, so tauschen sich  "<" und ">" bzw. "≤" und "≥" gegeneinander aus.

Diese Regel gilt es unbedingt zu beachten, wenn ihr mit Ungleichungen rechnet. Ansonsten dürften wohl einige Beispiele dies am Besten erklären.

Tabelle nach rechts scrollbar
Beispiel 1:
4x + 10 ≥ 14
| -10
4x ≥ 4
| :4
x ≥ 1

Algebra: Lineare Gleichungssysteme

Und noch ein Thema aus dem Gebiet der Algebra, dieses mal lineare Gleichungssysteme: Zunächst einmal solltet ihr Wissen, was man unter einem Gleichungssystem mit zwei Variablen überhaupt versteht. Dazu erst einmal ein kleines Beispiel: Ihr geht einkaufen und wisst, dass 6 Äpfel und 12 Birnen besonders guter Qualität 30 Euro kosten. Und ihr wisst, dass 3 Äpfel und 3 Birnen 9 Euro kosten. Die Frage lautet nun: Was kostet ein Apfel oder eine Birne? Da die Begriffe Äpfel und Birnen zu lange sind, setzen wir für den Preis für einen Apfel "x" und für den Preis einer Birne "y" ein. Daraus entstehen die folgenden Gleichungen ( Vergleicht diese mit den Angaben im Text! ):

Tabelle nach rechts scrollbar
6 Äpfel
und 12
Birnen
kosten 30 Euro
6 x
+ 12
y
=
30







3
Äpfel
und
3
Birnen
kosten
9 Euro
3
x
+
3
y
=
9

Das sieht natürlich noch nicht so sonderlich übersichtlich aus. Aus diesem Grund hat man in der Mathematik die folgende Schreibweise eingeführt, um für mehr Übersicht zu sorgen:

Tabelle nach rechts scrollbar
| 6x + 12y = 30 |
Gleichung Nr. 1
| 3x + 3y =
9 |
Gleichung Nr. 2

Ein solches Gleichungssystem deutet an: Diese Gleichungen gehören zu einander. Dies ist auch der Grund, warum man sie gemeinsam lösen muss. Ziel ist es, für x und y eine Zahl zu erhalten, die beide Gleichungen erfüllt. Und darum kümmern wir uns jetzt.

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