Kongruenz (Zahlentheorie)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

Mit der Kongruenz aus dem Bereich der Zahlentheorie befassen wir uns in den folgenden Abschnitten. Dabei wird kurz auf die Zeichen für gleich und identisch eingegangen, denn das identisch benötigen wir im Anschluss. Passende Beispiele sollen alles verdeutlichen. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Bevor wir uns mit der Kongruenz befassen, müssen wir uns ganz kurz mit gleich und identisch befassen. Die folgende Grafik zeigt dies in Kurzform:

Kongruenz Zahlentheorie: identisch und istgleich

Das istgleich kennen wir von einfachen Gleichungen: 3 + 4 = 7. Das identisch benötigen wir an einer anderen Stelle und genau diese sehen wir uns nun an.

Kongruenz aus der Zahlentheorie

Wir haben eben das identisch-Zeichen behandelt. Wo braucht man dieses? Nun, das identisch-Zeichen findet sich bei der Kongruenz aus dem Bereich der Zahlentheorie. Die Definition sieht so aus: Zwei natürlichen Zahlen sind kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch die natürliche Zahl m denselben Rest r lassen. Und was heißt das nun in Deutsch? Wir teilen die Zahl vor und die Zahl nach dem identisch-Zeichen durch das was hinter "mod" angegeben ist. Der Rest muss in beiden Fällen gleich sein. Sehen wir uns zwei Aufgaben zur Verdeutlichung an.

Aufgabe 1 bzw. Beispiel 1:

Kongruenz Zahlentheorie Beispiel 1

  • Um zu prüfen, ob die Berechnung stimmt, teilen wir sowohl 12 als auch 26 durch 7.
  • 12 : 7 = 1 Rest 5. Begründung: Die 7 geht in die 12 einmal komplett rein, 5 bleiben übrig. 7 · 1 + 5 = 12
  • 26 : 7 = 3 Rest 5. Begründung: Die 7 geht in die 25 dreimal komplett rein, 5 blieben übrig. 7 · 3 + 5 = 26
  • In beiden Fällen ist der Rest also 5, es stimmt alles.

Aufgabe 2 bzw. Beispiel 2:

Kongruenz Zahlentheorie Beispiel 2

  • Um zu prüfen, ob die Berechnung stimmt, teilen wir sowohl 15 als auch 4 durch 11. In beiden Fällen muss wieder ein gleicher Rest rauskommen, damit die Aufgabe/das Beispiel stimmt.
  • 15 : 11 = 1 Rest 4. Begründung: Die 11 geht in die 15 einmal komplett rein, 4 bleiben übrig. 11 · 1 + 4 = 15
  • 4 : 11 = 0 Rest 4. Begründung: Die 11 geht in die 4 gar nicht rein, 4 bleiben übrig. 11 · 0 + 4 = 4.
  • In beiden Fällen ist der Rest also 4, es stimmt alles.

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