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Quadratische Ergänzung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 07. September 2014 um 14:00 Uhr

Mit der quadratischen Ergänzung befassen wir uns in diesem Artikel. In diesem Zusammenhang wird erklärt, wofür man die quadratische Ergänzung einsetzt und es werden einige Beispiele gezeigt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Die quadratische Ergänzung ist in der Mathematik ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, also zum Beispiel x2 oder a2. Ziel dabei ist es, dass ein quadriertes Binom entsteht.  Zum besseren Verständnis empfehle ich noch die folgenden Artikel zu lesen. Das ist zwar nicht zwingend notwendig, hilft jedoch oftmals die quadratische Ergänzung besser zu verstehen.

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Quadratische Ergänzung: Erklärung und Beispiele

Schüler und oftmals auch Studenten schätzen es in aller Regel, wenn sie einen "Fahrplan" vorgesetzt bekommen, mit dem sie eine Aufgabe lösen können. Um die quadratische Ergänzung durchzuführen und anschließend entsprechende Klammerausdrücke zu bilden kann man zum Beispiel die folgende Vorgehensweise ansetzen:

  1. Sofern die Zahl vor der quadratischen Variable keine 1 ist, dividiert durch diese.
  2. Findet p heraus (das ist die Zahl die vor der einfachen Variable steht)
  3. Bildet nun (p : 2)2. Damit erhaltet ihr die quadratische Ergänzung
  4. Schafft bei eurer Gleichung die alleinstehende Zahl ohne Variable auf die andere Seite
  5. Baut die quadratische Ergänzung in die Gleichung ein
  6. Bildet den Klammerausdruck

Soweit die Theorie. Die folgenden Beispiele demonstrieren die praktische Vorgehensweise. Eine umfassende Erläuterung findet ihr unterhalb der Rechnung.

Beispiel 1:

Quadratische Ergänzung Beispiel 1

Wir dividieren zunächst die Gleichung 2x2 -8x -4 = 0 durch die Zahl vor x2, also durch 2 und erhalten dadurch x2 -4x - 2 = 0. Nun lesen wir "p" ab, das ist die Zahl vor dem x und in unserem Beispiel ist dies die Zahl -4. Diese setzen wir in die Formel ( p : 2 )2 ein und erhalten ( -4 : 2 )2 = 4. Die Zahl 4 ist unsere quadratische Ergänzung.

Als nächstes schaffen wir die "-2" auf die rechte Seite und erhalten dadurch x2 -4x = 2. Jetzt verwenden wir die quadratische Ergänzung "4", die wir bereits weiter oben berechnet haben und fügen diese auf beiden Seiten der Gleichung ein. Fehlt noch die Bildung des Klammerausdrucks. In die Klammer schreiben wir ein x und dahinter nun p : 2, also -4 : 2 = -2. Das Quadrat hinter der Klammer nicht vergessen. Probe: Multiplizieren wird ( x - 2 )2 wieder aus, so erhalten wir wieder die Ausgangsgleichung. Wir haben also einen Klammerausdruck gebildet.

Beispiel 2:

Quadratische Ergänzung Beispiel 2

Auch hier dividieren wir zunächst durch die Zahl vor x2, also durch 3. Dann lesen wir p = 1,6666... ab und berechnen die quadratische Ergänzung zu 0,694. Wir schaffen die 0,66666 der Gleichung auf die rechte Seite und fügen auf beiden Seiten der Gleichung die quadratische Ergänzung ein. Nun bilden wir die Klammer, in der x steht und 1,6666 : 2 = 0,83333...

Beispiel 3:

Quadratische Ergänzung Beispiel 3

Auch hier dividieren wir durch die Zahl vor dem Quadrat, also durch 8. Danach finden wir p =0,5 und bestimmen die quadratische Ergänzung zu 0,0625. Diese addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung. Und dann bilden wir die Klammer mit a und p : 2 = 0,5 : 2 = 0,25.

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