Aufleiten Allgemein ( Aufleitung )

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

In diesem Artikel soll einmal allgemein gezeigt werden, wie man Aufleiten kann. Zur besseren Übersicht sehen wir uns als erstes einmal an, was es mit der Aufleitung überhaupt auf sich hat. Und danach werfen wir einen allgemeinen Blick auf die verschiedenen Regeln, mit denen man hier arbeitet. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik Oberstufe.

Zunächst ein wichtiger Hinweis: Der Begriff "Aufleiten" ist umgangssprachlich. Er wird von vielen Schülern einfach als das Gegenteil von Ableiten angesehen. In der Mathematik spricht man bei diesem Bereich richtigerweise von Integration bzw. von Integrationsregeln. Dieser Artikel hier richtet sich also mehr an Schüler bzw. Studenten, die sich der Sache von der Umgangssprache her genähert haben.

Was soll das mit dem Aufleiten eigentlich?

Was soll das mit dem Integrieren bzw. Aufleiten überhaupt? Nun, es geht letztlich darum die Fläche unter einer Funktion zu berechnen. Um das zu verstehen, zeige ich euch im Folgenden, was es mit der Summenregel auf sich hat. Ziel ist es, die Fläche unter einer Funktion  zu berechnen. Wir beginnen dabei mit der Untersumme. Schaut euch einmal die folgende Grafik an:

Integral Untersumme

Die Untersumme:

In schwarz wird die Funktion dargestellt. Um die Fläche unter dieser zu berechnen, wurden Rechtecke eingezeichnet ( Breite: 2cm ). Wir ihr sicher wisst: Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich aus Länge mal Breite. Man kann somit die Fläche aller Rechtecke ausrechnen und zusammen addieren. So erhält man die Fläche unter einer Funktion. Allerdings entsteht hier ein kleiner Fehler: Wie ihr sehen könnt, fehlt ein kleines Stück Fläche zwischen den Rechtecken und der Funktion. Es "fehlt" also Fläche. Das war die Untersumme.

Die Obersumme:

Als nächstes beschäftigen wir uns mit der Obersumme. Die Vorgehensweise ist sehr ähnlich zur Untersumme. Nur hier werden die Rechtecke etwas größer angesetzt. Werft aber erst einmal einen Blick auf die folgende Grafik:

Integral Obersumme

Es werden also erneut Rechtecke eingezeichnet. Deren Flächeninhalte berechnet sich wie immer aus Länge mal Breite. Und die einzelnen Rechtecke werden zu einer Gesamtsumme addiert. Nur hier ist die Summe größer als die eigentliche Fläche. Somit hat die Untersumme eine Fläche geliefert, die zu klein ist. Die Obersumme hingegen hat eine Fläche geliefert, die zu groß ist. Die richtige Lösung muss also irgendwo dazwischen liegen.

Exakte Fläche berechnen:

Sowohl die Obersumme, als auch die Untersumme haben ein "etwas" falsches Ergebnis geliefert. Das korrekte Ergebnis liegt irgendwo dazwischen. Aber wie bekommt man das richtige Ergebnis raus? Die Antwort ist eigentlich recht einfach: Es müssen mehr Rechtecke eingesetzt werden. Je mehr Rechtecke ihr habt, desto kleiner sind die fehlenden Flächen bzw. die Flächen, die zu groß sind. Ihr nähert euch damit dem "realen" Verlauf der Funktion viel besser an. Habt ihr praktisch unendlich viele Rechtecke, erhaltet ihr das Integral! Und dieses ist die richtige Lösung.

Aber mal ehrlich: Es ist viel zu umständlich, eine riesige Anzahl an Rechtecken einzuzeichnen, deren Fläche zu berechnen und das Ganze auf zu summieren. Aus diesem Grund, haben Mathematiker sich Gedanken gemacht, wie man dies einfacher lösen kann. Die Lösung lautet: Mittels einiger Regeln die Funktion aufleiten und dadurch die Fläche erhalten. Wie diese Regeln funktionieren, lernt ihr ab dem nächsten Abschnitt.

Aufleiten durch allgemeine Regeln

Es gibt in der Mathematik eine Reihe an Regeln zum Aufleiten. In diesem Artikel sollen genau diese Aufleitungsregeln einmal in Kurzform vorgestellt werden. Wie sehen uns das also die Regeln zum Aufleiten noch recht allgemein an. Unterhalb der jeweiligen Regel findet ihr dann einen Link zu weiteren Informationen.

Aufleiten: Potenzregel

Beginnen wir bei mit der Aufleitungsregel für Potenzen. Dabei wird hier zunächst eine Konstante integriert:

  • f(x) = 2 -> F(x) = 2x + C
  • f(x) = 5 -> F(x) = 5x + C
  • f(x) = 8 -> F(x) = 8x + C

Merke: Eine Konstante wird aufgeleitet, in dem man an die Konstante ein "x" angehängt und +C schreibt. Das C steht dabei für eine beliebige Zahl. Lasst dieses C erst einmal so stehen, wie es ist. Der Grund: Leitet ihr nun 2x + 2 oder 2x + 5 bzw. allgemein 2x + C ab, erhaltet ihr wieder f(x) = 2.

Nun möchten wir Funktionen wie zum Beispiel f(x) = 2x  oder f(x) = 3x2 integrieren. Dafür benutzen wir die Potenzregel, die wie folgt aussieht:

Integral Potenzregel

Beispiele:

Integral Pozentregel Beispiel

Aufleiten: Summenregel

Wie auch bei der Summenregel der Differentation gibt es bei der Aufleitung auch eine Summenregel, die sehr ähnlich aussieht. Diese besagt, dass ihr Gliedweise aufleiten dürft. Wie immer sind einige Beispiele für das Verständnis vermutlich am Besten:

Integral Summenregel

Aufleitung: Partielle Integration

Soll ein Produkt aufgeleitet werden, wendet man die so genannte partielle Integration - oft auch Produktintegration - an. Ich hoffe ihr erinnert euch an die Produktableitung ( Differentation ). So etwas ähnliches gibt es auch bei der Integration - also beim Aufleiten - und wird als partielle Integration bezeichnet. Es folgt zunächst die allgemeine Formel, im Anschluss gibt es einige Beispiele.

Produktintegration


Zeit für ein paar Beispiele um die partielle Integration zu zeigen. Dazu gleich eine kleine Warnung:  Ihr müsst am Anfang u und v' festlegen. Wählt ihr diese falsch herum aus, könnt ihr die Aufgabe unter Umständen nicht mehr lösen. Tauscht in diesem Fall u und v' einmal gegeneinander aus und versucht es erneut.

Beispiel 1:

Partielle Integration Beispiel 1


Links: