3 Gleichungen lösen (3 Unbekannte)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

Wie geht man mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten um? Genau darum geht es in diesem Artikel. Es werden entsprechende Beispiele zum besseren Verständnis vorgerechnet. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik/Mathe.

Wie löst man drei Gleichungen mit drei Unbekannten? Dazu müssen wir lernen, wie man ein lineares Gleichungssystem löst.  Wichtig: Wenn ihr noch Probleme beim Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten (z.B.:  5x + 2 = 3) habt, dann solltet ihr unbedingt noch einmal unser Kapitel zum Lösen von Gleichungen aufsuchen und dieses lesen. Alle anderen können gleich mit linearen Gleichungssystemen loslegen und den folgenden Link ignorieren.

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten: Gauß-Verfahren

Ich zeige euch nun, wie man mit drei Gleichungen und drei Unbekannten umgeht, sprich ein entsprechendes Gleichungssystem löst. Dazu ein erstes Beispiel:

Tabelle nach rechts scrollbar
| -x + y + z = 0 |
1.Gleichung
| x - 3y -2z = 5 |
2. Gleichung
| 5x + y + 4z = 3| 3. Gleichung

In der ersten Gleichung haben wir -x und in der zweiten +x. Wenn wir die beiden addieren, fliegt das x raus. Das machen wir dann gleich mal:

Tabelle nach rechts scrollbar
| -x + y + z = 0 |
| x - 3y -2z = 5 | Addieren
-2y - z = 5

Jetzt haben wir aus den ersten beiden Gleichungen eine Gleichung mit zwei Unbekannten gemacht. Dooferweise hat die 3. Gleichung ebenfalls noch ein vorhandenes "x" drin. Dieses muss nun auch noch eliminiert werden. Dazu nehmen wir uns die 3. Gleichung und eine der beiden anderen Ausgangsgleichungen. Ich nehme jetzt mal die 1. Gleichung noch und multipliziere diese mit 5. Dies ergibt: -5x + 5y + 5z = 0. Diese umgeformte 1. Gleichung wir mit der 3. Gleichung addiert.

Tabelle nach rechts scrollbar
| -5x + 5y + 5z = 0 | 1. Gleichung
|  5x + y + 4z = 3 |
3. Gleichung
6y + 9z = 3  
Addition der Gleichungen

Wir haben nun zwei Gleichungen "erzeugt", welche nur zwei Unbekannte haben. Diese beiden Gleichungen lauten nun:

Tabelle nach rechts scrollbar
| -2y -z = 5   |
Erste neue Gleichung
| 6y + 9z = 3| Zweite neue Gleichung

Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen. Nun geht das selbe Spielchen los, wie wir es bereits in den Abschnitten weiter vorne besprochen haben. Um hier nun das y zu eliminieren, wird die zweite neue Gleichung durch 3 dividiert. Dies liefert: 2y + 3z = 1. Nun kann wieder addiert werden:

Tabelle nach rechts scrollbar
-2y - z =  5 1. neue Gleichung
2y + 3z = 1 2. neue Gleichung, wird nun addiert
2z = 6 | : 2
z = 3

Wir erhalten z = 3. Diese setzen wir in die Gleichung -2y - z = 5 ein und erhalten y = -4. Setzen wir dies nun in die Startgleichung -x + y + z = 0 ein, ergibt sich noch x = -1.

Tipps zum Lösen von Gleichungssystemen

Hier noch ein paar Tipps und Anmerkungen:

  • Übt erst einmal das Lösen von Gleichungssystemen mit 2 Unbekannten, bevor ihr drei Gleichungen mit drei Unbekannten nehmt oder noch mehr.
  • Es ist ganz natürlich, dass ihr am Anfang einige Probleme haben werdet und die Fehler erst einmal nicht seht. Ihr müsst dann entweder gründlich neu suchen oder die Aufgabe noch einmal von vorne rechnen.
  • Versucht euch das Leben möglichst leicht zu machen und schaut euch erst einmal das System an, um eine möglichst leicht zu eliminierende Variable als Erstes zu beseitigen.
  • Löst unsere Übungsaufgaben auf der nächsten Seite um Sicherheit zu bekommen.

Links: