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Komplexe Zahlen Division / dividieren

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

Wie man komplexe Zahlen dividieren kann lernt ihr in diesem Artikel. Ich zeige dabei kurz den allgemeinen Zusammenhang für die Berechnung, dann einige Beispiele bzw. Aufgaben und gebe noch ein paar allgemeine Informationen. Dieser Artikel zur komplexen Zahlen Division gehört zu unserem Bereich Mathematik.

In dem Artikel komplexe Zahlen Grundlagen haben wir uns bereits mit ein paar Grundlagen zu den komplexen Zahlen befasst. In diesem Artikel geht es nun um das Rechnen mit komplexen Zahlen, genauer gesagt die Division wird behandelt. Als Erstes in Kurzform der allgemeine Zusammenhang, dann geht es an Beispiele.

Allgemeiner Zusammenhang:

Es gibt zahlreiche Darstellung für die allgemeine Darstellung der Division von komplexen Zahlen. Also bitte nicht wundern, wenn eine andere Quelle dies anders darstellt. Im Anschluss sehen wir uns Beispiele an, diese zeigen dann, dass der Rechenweg fast mit bekannten Methoden aus der Schule durchzuführen ist.

Komplexe Zahlen dividieren Formel

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Komplexe Zahlen Division Beispiele

Es gibt noch einen Punkt, den ich vor Beispielen ansprechen muss. Wir benötigen die so genannte konjugiert komplexe Zahl um die Division von komplexen Brüchen durchzuführen. Was heißt das? Nun, die konjugiert komplexe Zahl liegt spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Man erhält diese ganz einfach indem man das Vorzeichen vor dem imaginären Anteil umdreht.

Beispiele konjugiert komplexe Zahl:

  • Die konjugiert komplexe Zahl zu 1 -2i lautet 1 + 2i.
  • Die konjugiert komplexe Zahl zu 3 +4i lautet 3 - 4i.

Um die komplexe Zahlen Division durchzuführen werden wir den Bruch gleich konjugiert komplex erweitern. Daher diese zwei Beispiele.

Beispiel 1:

Berechnet werden soll 2 + i geteilt durch 1- 2i. Zunächst die Rechnung, im Anschluss die Erklärungen dazu.

Komplexe Zahlen dividieren Beispiel 1

Als ersten Schritt erweitern wir konjugiert komplex. Wie weiter oben beschrieben nehmen wir dabei den Nenner und tauschen das Vorzeichen. Aus 1 - 2i wird also 1 + 2i und dies multiplizieren wir mit Zähler und Nenner. Wir multiplizieren aus, so wie wir das vom Ausmultiplizieren von Klammern bereits aus der Schule kennen. Wer hier noch Probleme hat bitte den Artikel Klammern ausmultiplizieren lesen. Für den nächsten Schritt ist es wichtig zu wissen, dass i2 = -1 ist. Dadurch wird aus +2i2 nun -2 und aus -4i2 wird +4. Wir fassen weiter zusammen und kürzen, die Lösung lautet 1i.

Beispiel 2:

Im zweiten Beispiel soll 2 + 3i geteilt durch 1 - 4i berechnet werden.

Komplexe Zahlen Division Beispiel 2

Auch hier erweitern wird zunächst konjugiert komplex. Da der Nenner 1 - 4i lautet, wäre dies somit 1 + 4i. Wir multiplizieren aus und verwenden erneut den Zusammenhang i2 = -1. Im Anschluss vereinfachen wir und ändern die Darstellung noch.

Komplexe Zahlen Division Hinweise:

  • Für die konjugiert komplexe Zahl muss das Vorzeichen des Imaginäranteils umgedreht werden.
  • Man sollte sich stets darüber im klaren sein, dass i2 = -1 genutzt werden muss.
  • Auch bei der komplexen Division darf nicht durch Null geteilt werden.
  • Durch die konjugiert komplexe Erweiterung wird der Nenner reell.

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