Rechnen mit Klammern (Ausmultiplizieren, Zusammenfassen)

Neben der Priorität bei der Berechnung von Klammern gibt es noch eine weitere Sache, die bei der Klammerrechnung wichtig ist. Dabei geht es um das ausmultiplizieren von Klammer-Ausdrücken. Dieser Artikel beschäftigt sich genau mit diesem Thema und erläutert euch dabei auch einige Tücken bei der Berechnung.

Schüler wundern sich nach dem Rechnen einer Aufgabe oft, dass sie verschiedene Ergebnisse haben. Das liegt öfters daran, dass sie Klammern falsch ausmultiplizieren, weil sie eine Rechenregel vergessen haben oder gar nicht kannten. Dies werden wir hier versuchen in den Griff zu bekommen. Zuvor folgt jedoch eine kleine Liste an benötigten Vorkenntnissen. Diese braucht Ihr, wenn ihr mit Klammen vernünftig umgehen können wollt (oder müsst). Wem die folgenden Themen klar sind, der kann gleich mit dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen von Klammern weitermachen.

• Punkt vor Strich und Klammerrechnung Grundlagen (öffnet in neuem Fenster)
• Negative und positive Zahlen bei Multiplikationen (öffnet in neuem Fenster)
• Lineare Gleichungen (öffnet in neuem Fenster)

Klammern rechnen Video:
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Klammern ausmultiplizieren

Beginnen wir mit dem Ausmultiplizieren von Klammern. Dazu erst einmal ein paar kleine Beispiele zum Einstieg, welche im Anschluss erläutert werden.

• 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4
• 3 · (6 + 9) = 3 · 6 + 3 · 9
• 3 · (a + b) = 3 · a + 3 · b
• 5 · (a + b + c) = 5a + 5b+ 5c

Soweit vier kleine Beispiele um Klammern auszumultiplizieren. Wie ihr seht, wird die Zahl vor der Klammer mit jedem Ausdruck innerhalb der Klammer multipliziert und zwischen die einzelnen Multiplikationen ein "+" geschrieben. Das war es auch schon. Deshalb gleich weiter zu ein paar neuen Beispielen:

• 2,34 · (2 + 3) = 2,34 · 2 + 2,34 · 3 = 11,7
• 5 (4 - a) = 5 · 4 + 5 · (- a) = 20 - 5a
• 3 (-a + b) = 3 · (-a) + 3 · b = -3a + 3b
• -4 (a -3) = (-4) · a + (-4) · (- 3) = -4a + 12

Dies waren nun noch ein paar Beispiele, wie man mit Kommazahlen/Dezimalzahlen und negativen Zahlen umgehen muss. Wer damit noch Probleme hat, sollte auch noch einmal in unserem Artikel positive und negative Zahlen nachlesen. Dort wird auf die Vorzeichenproblematik noch einmal eingegangen. Als Letztes gehen wir noch einmal darauf ein, was passiert, wenn mehrere Klammern existieren. Auch hier folgen anschließend die Erklärungen:

• (1 + 2) (3 + 4) = 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4
• (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
• (a - b) (-c + d) = -ac + ad + bc -bd

Auch wenn es nicht sehr mathematisch klingt: Alles mit allem multiplizieren. Also jede Zahl oder jede Variable mit jeder Zahl oder Variablen der anderen Klammer multiplizieren und dazwischen "+" rechnen.

Hinweis: Weitere Beispiele mit mehr Klammern findet ihr im Artikel mehrere Klammern ausmultiplizieren.

Klammern bilden

Bis jetzt haben wir uns in diesem Artikel mit dem beseitigen von Klammern beschäftigt. Im nun Folgenden drehen wir den Spieß um und versuchen, Klammern zu erzeugen. Die Regel dafür ist im Prinzip recht einfach, die Anwendung fällt vielen jedoch schwer. Wie immer erst ein paar Beispiele, mit denen Ihr das Verfahren erklärt bekommt:

• 5a + 6a = a (5 + 6)
• 3c + 3d = 3 (c + d)
• 4a + 8b = 4 (a + 2b)

Die Regel lautet: Ein Faktor, der Überall vorkommt, darf vor die Klammer gezogen werden. Im obersten der drei Beispiele kommt das "a" jedes mal vor. Deshalb wird es vor die Klammer geschrieben. Im zweiten Fall ist es die Zahl 3. Und im letzten Fall wird eine 4 vor die Klammer geschrieben, die ja ein Teiler der 8 ist. Tipp: Dieses auch als ausklammern bezeichnete Verfahren erfordert einiges an Übung. Macht also die Übungsaufgaben. Zur Selbstkontrolle könnt Ihr die Klammern auch wieder ausmultiplizieren, so wie dies im oberen Bereich dieses Artikels schon beschrieben wurde.

Links:

• Übungen: Rechnen mit Klammern
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