Wie dividiert man Potenzen? Dazu sehen wir uns hier verschiedene Beispiele an und sehen uns gleiche und unterschiedliche Basen und Exponenten an. Zusätzlich geht es um die Division von Potenzen mit negativen Zahlen und mit Variablen. Die Inhalte liegen als Text und als Video vor.
Um die Division mit Potenzen zu verstehen solltest du drei wichtige Begriffe kennen: Basis, Exponent und Potenzwert. Der Exponent - auch Hochzahl genannt - ist die kleine Zahl über der Basis und gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. Das Ergebnis der Berechnung ist der Potenzwert.
Bei der Division von Potenzen werden zwei Potenzen dividiert. Wie dies funktioniert lernst du mit den nächsten Beispielen.
Potenzen dividieren bei gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis können dividiert werden indem Exponenten (Hochzahlen) subtrahiert werden während die Basis beibehalten wird. Bevor wir zu Beispielen kommen zunächst die allgemeine Schreibweise.
Im nächsten Beispiel haben beide Potenzen mit der Zahl 2 die gleiche Basis. Die Exponenten sind mit 3 und 4 verschieden. Wir subtrahieren die Exponenten und rechnen die Potenz aus. Hinweis: Die Aufgabe wird dabei sowohl als Division von zwei Potenzen als auch als Bruch geschrieben.
Ein weiteres Beispiel für gleiche Basis aber unterschiedliche Exponenten liegt mit 32 durch 34 vor. Die Division der zwei Potenzen liefert dabei eine Potenz mit negativem Exponenten. Zur Berechnung schreiben wir diese in Form eines Bruchs: Durch die Bruchschreibweise dreht sich das Vorzeichen des Exponenten um.
Im nächsten Abschnitt geht es um die Division von Potenzen mit negativen Zahlen und Variablen.
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Gleiche Basis mit negativen Zahlen und Variablen
Die Division von Potenzen mit gleicher Basis funktioniert auch mit negativen Zahlen und Variablen. Im nächsten Beispiel siehst du mit -2 eine negative Basis bei beiden Potenzen. Wichtig: Beachte das -2 die Basis ist und nicht 2. Die Hochzahl 4 oder 3 bezieht sich daher auf -2 und nicht +2. Zur Berechnung subtrahieren wir die Hochzahlen und berechnen die Potenz.
Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis können Variablen vorkommen. In der nächsten Aufgabe ist die Basis 2a. Die Vorgehensweise bei der Berechnung ändert sich jedoch nicht: Die Exponenten werden subtrahiert. Da die Hochzahl negativ wird schreiben wir dies als Bruch um, die Potenz kommt in den Nenner mit nun positivem Exponenten.
Im nächsten Abschnitt geht es um die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten.
Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren
Potenzen mit gleichem Exponenten können dividiert werden indem die Basen dividiert werden bei gleichem Exponenten. Die Division der Basen erfolgt dabei innerhalb einer Klammer. Der Exponent bezieht sich auf den kompletten Inhalt der Klammer. Zunächst die allgemeine Schreibweise gefolgt von Beispielen.
Im nächsten Beispiel haben wir zwei Potenzen mit gleichem Exponenten. Die Division erfolgt durch Übernahme der Basen. Die erste Basis kommt in den Zähler eines Bruchs und die zweite Basis in den Nenner des Bruchs. Die Division der Potenzen lässt sich durch Ausrechnen des Bruchs ausrechnen.
Negative Zahlen können ebenfalls bei der Division von Potenzen vorkommen. Im nächsten Beispiel sind beide Basen negativ, der Exponent hingegen positiv. Zunächst erfolgt die Umformung durch einen Bruch. Dieser Bruch kann entweder ausgerechnet werden oder wie hier geschehen ausmultipliziert.
Hinweis: Beim Multiplizieren von Brüchen wird Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Werden zwei negative Zahlen miteinander multipliziert ist das Ergebnis positiv.
Neben einer negativen Basis kann ein Exponent negativ sein. Im nächsten Beispiel ist der Exponent -3. Zur Berechnung formen wir zunächst auf eine einzige Potenz um. Da diese jedoch einen negativen Exponenten aufweist bringen drehen wir das Vorzeichen von -3 auf +3 um durch einen Schreiben der Potenz in den Nenner mit 1 als Zähler.
Im nächsten Abschnitt geht es um die Division von Potenzen bei gleicher Basis und gleichem Exponenten.
Division von Potenzen mit gleicher Basis und Exponenten
Die Division von zwei Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten ergibt stets 1 als Lösung. Zunächst zur allgemeinen Schreibweise:
Die Division von zwei gleichen Potenzen kann in Form eines Bruchs geschrieben werden. Zähler und Nenner sind gleich, kürzen sich somit vollständig auf 1.
Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis und gleicher Hochzahl spielt es keine Rolle, ob nur Zahlen oder auch Variablen vorkommen. Der Quotient ist stets 1.
Die Division von zwei gleichen Potenzen ergibt auch bei negativer Basis und negativem Exponenten 1 als Lösung. Hier in Form eines Bruchs geschrieben:
Unterschiedliche Basis und ungleicher Exponent
Für die Division von Potenzen mit unterschiedlicher Basis und ungleichem Exponenten gibt es keine allgemeine Regel für die Umformung.
Als Alternative bleibt die Berechnung der Potenzen sofern diese in Form von Zahlen vorliegt. Im nächsten Beispiel wird die Division der Potenzen in Form eines Bruchs geschrieben. Daher wird sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenz ausgerechnet.
Die nächste Aufgabe zeigt ein weiteres Beispiel mit zwei unterschiedlichen Basen und zwei unterschiedlichen Hochzahlen und deren Berechnung.
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