Primzahlen verstehen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 14. September 2021 um 11:20 Uhr

Was eine Primzahl ist und wie man eine Primzahl erkennt, lernst du in diesem Artikel. Dabei zeige ich dir verschiedene Beispiele zu Primzahlen und wie du diese berechnen bzw. erkennen kannst. Diese Inhalte liegen als Text und als Video vor.


Was ist eine Primzahl? Starten wir mit einer Definition:

Hinweis:

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit nur zwei Teilern: Die Zahl 1 und sich selbst. Die Zahl 2 ist die kleinste existierende Primzahl. Da es unendlich viele Primzahlen gibt existiert keine größte Primzahl.


Die Zahl 1 ist keine Primzahl, denn diese hat nur einen Teiler. Und zwar 1. Ab der Grundschule steht das Thema Primzahl auf dem Lehrplan in Mathematik. Wir sehen uns hier erst einmal an wie man herausfindet, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder eben nicht.

Primzahlen erkennen

Eine Primzahl erkennt man daran, dass diese nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Um dies zu verstehen, untersuchen wir die Zahl 4 und die Zahl 5 darauf, ob sie eine Primzahl sind oder nicht. Dazu teilen wir die zu untersuchende Zahl durch 1, 2, 3 und so weiter bis eben zur Zahl selbst.


Beispiel: Ist die Zahl 4 eine Primzahl?

Um herauszufinden, ob die Zahl 4 eine Primzahl ist oder nicht teilen wir die 4 durch die Zahlen 1, 2, 3 und 4. Wir erkennen dabei, dass die Zahlen 1, 2 und 4 Teiler der 4 sind. Die Zahl 3 ist kein Teiler der 4, denn hier entsteht bei der Berechnung ein Rest.

Primzahlen erkennen Zahl 4

Da es neben der 1 und sich selbst (also die Zahl 4) noch die Zahl 2 als Teiler gibt, ist die Zahl 4 keine Primzahl.


Beispiel: Ist die Zahl 5 eine Primzahl?

Um herauszufinden, ob die Zahl 5 eine Primzahl ist oder nicht teilen wir die 5 durch die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5. Wir erkennen dabei, dass nur die Zahl 1 und 5 Teiler der 5 sind. In allen anderen Fällen entsteht bei der Berechnung ein Rest.

Primzahlen erkennen Zahl 5


Da es für die Zahl 5 nur die Teiler 1 und 5 gibt, handelt es sich bei der 5 um eine Primzahl.

Werden die Zahlen größer, hilft der Einsatz von Regeln zur Teilbarkeit um heraus zu bekommen, ob eine Zahl weitere Teiler als 1 und sich selbst hat. Beispiele und Erklärungen dazu unter Teilbarkeitsregeln.

Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl ist entweder selbst eine Primzahl oder kann in eine Multiplikation aus Primzahlen zerlegt werden. Diese Zerlegung in Primzahlen wird als Primfaktorzerlegung bezeichnet. Dies soll mit den Zahlen 36 und 64 einmal gezeigt werden.


Primfaktorzerlegung Zahl 36:

Die Zahl 36 soll in Primfaktoren zerlegt werden. Die 36 kann in 6 · 6 zerlegt werden. Die beiden 6er können jeweils wieder in 2 · 3 zerlegt werden. Die 36 kann daher in Multiplikationen aus den Primzahlen 2 und 3 zerlegt werden.

Primzahlen und Primfaktorzerlegung Zahl 36


Primfaktorzerlegung Zahl 64:

Die Zahl 64 soll in Primfaktoren zerlegt werden. Die 64 kann in 8 · 8 zerlegt werden. Die beiden 8er können jeweils wieder in 2 · 4 zerlegt werden. Und die 4 kann wieder in 2 · 2 zerlegt werden. Die 64 kann daher in Multiplikationen aus 2en zerlegt werden.

Primzahlen und Primfaktorzerlegung Zahl 64

Primzahlen bis 100 und über 100

Oftmals suchen Nutzer einfach direkt nach den Primzahlen bis 100 oder Primzahlen größer als 100. Dies ist natürlich eine Tabelle oder Auflistung der Primzahlen. Diese sollte man nicht auswendig lernen, sondern bei Bedarf einfach nachsehen.


Primzahlen bis 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.


Primzahlen über 100 bis 1000:
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997