Produktdarstellung / Produkt aus Linearfaktoren

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

In diesem Artikel geht es um die Produktdarstellung bzw. das Produkt aus Linearfaktoren. Wie man diese ermittelt wird anhand eines Plans und einigen Beispielen gezeigt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Mit der Produktdarstellung bzw. dem Produkt aus Linearfaktoren befassen wir uns in diesem Artikel. Um die folgenden Inhalte verstehen zu können, müsst ihr jedoch wissen was eine Nullstelle ist und wie man diese findet. Dazu setzen wir PQ-Formel, Polynomdivision etc. ein. Wer damit noch Probleme hat findet Hilfestellungen in den nun verlinkten Artikeln. Alle anderen können gleich mit der Produktdarstellung loslegen:

Erklärung als Video:
Dieses Thema liegt auch als Video vor. In diesem werden typische Aufgabenstellungen, ein allgemeiner Lösungsweg, Beispiele und Tipps vorgestellt. Per Button kann auch in den Vollbildmodus gewechselt werden. Das Video ist auch direkt in der Sektion Linearfaktorzerlegung Video aufrufbar. Bei Abspielproblemen hilft der Artikel Video Probleme.

Produktdarstellung ermitteln

Stellt sich noch die Frage, was die Produktdarstellung eigentlich bringt? Nun mit dem Ergebnis kann man oftmals leichter weiterrechnen und man sieht an dieser sofort wo die Nullstellen zu finden sind. Prinzipiell gilt: Besitzt eine Polynomfunktion an der Stelle x1 eine Nullstelle, so kann man die Funktion auch in der Form f(x) = ( x - x1 ) · f1(x) darstellen. Man bezeichnet ( x - x1 ) als Linearfaktor und f1(x) als erstes reduziertes Polynom. Von dem reduzierten Polynom kann man unter Umständen wieder Linearfaktoren abspalten. Mit diesen Informationen kann man die Produktdarstellung einer Polynomfunktion ermitteln. Bevor wir uns Beispiele hierzu ansehen gibt es erst einmal eine allgemeine Liste um die Vorgehensweise zu beschreiben.

Vorgehensweise für die Produktdarstellung:

  1. Die Funktion auf Nullstellen untersuchen
  2. Linearfaktoren aufschreiben
  3. Die Produktdarstellung ermitteln

Beispiel 1:

Gegeben sei f(x) = x2 - 2x - 8. Es soll die Produktdarstellung ermittelt werden. Lösung:

  • Wir müssen die Gleichung x2 - 2x - 8 = 0 lösen. Mit der PQ-Formel erhalten wir die Nullstellen x1= 4 und x2 = -2.
  • Die Linearfaktoren lauten damit ( x - 4 ) und ( x + 2 ).
  • Wir erhalten damit f(x) = ( x - 4 ) ( x + 2 ) für die Produktdarstellung
  • Probe: ( x - 4 ) ( x + 2 ) = x2 - 2x - 8.

Beispiel 2:

Geben sei f(x) = x2 + 2x + 1. Die Produktdarstellung soll gefunden werden. Lösung:

  • Wir müssen x2 + 2x +1 = 0 lösen. Mit der PQ-Formel erhalten wir x1 = -1 und x2 = -1.
  • Wir erhalten damit ( x + 1 ) und noch einmal ( x + 1 ) für die Linearfaktoren.
  • Die Produktdarstellung lautet damit: f(x) = ( x + 1 ) ( x + 1 ) = ( x + 1 )2.
  • Probe: ( x + 1 ) ( x + 1 ) = x2 + 2x + 1.

Beispiel 3:

Für f(x) = 2x2 + 7x -22 soll ein Produkt aus Linearfaktoren gefunden werden. Lösung:

  • Bei den vorigen Beispielen hatten wir 1x2, hier haben wir 2x2.
  • Den Koeffizienten "2" vor x2 merken wir uns, denn diesen brauchen wir für die Produktdarstellung.
  • Wir suchen mit der PQ-Formel die Nullstellen und erhalten x1 = 2 und x2 = -5,5.
  • Die Linearfaktoren lauten ( x - 2 ) und ( x + 5,5 ).
  • Produktdarstellung: Mit dem Koeffizienten erhalten wir f(x) = 2 ( x - 2 ) ( x + 5,5 ).
  • Probe: 2 ( x - 2 ) ( x + 5,5 ) = 2x2 + 7x - 22.

Beispiel 4:

Eine Zerlegung von f(x) = 3x3 - 10x2 + 7x - 12 in Linearfaktoren soll durchgeführt werden. Lösung:

  • Durch probieren erhalten wir eine Nullstelle bei x = 3. Wir führen eine Polynomdivision durch:

Polynomdivision Beispiel 2

  • Den Linearfaktor ( x - 3 ) konnten wir nun abspalten
  • Das reduzierte Polynom 3x2 - x + 4 bleibt übrig.
  • Durch Einsatz der PQ-Formel sehen wir, dass 3x2 - x + 4 = 0 keine weiteren Nullstellen im reellen liefert. Hinweis: Um die PQ-Formel anwenden zu dürfen muss natürlich erst durch 3 geteilt werden.
  • Damit konnten wir nur einen Linearfaktor abspalten. Dieser lautet ( x - 3 ).
  • Wir erhalten: f(x) = ( x - 3 ) ( 3x2 - x + 4 ).
  • Probe: ( x - 3 ) ( 3x2 - x + 4 ) = 3x3 - 10x2 + 7x - 12.

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