Das Rechnen mit komplexen Zahlen wird in diesem Artikel behandelt. Dabei werden die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division für komplexe Zahlen besprochen. Zusammen mit entsprechenden Beispielen. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.
Wir sehen uns hier nun das Rechnen mit komplexen Zahlen an. Dabei gehen wir Stück für Stück durch die Grundrechenarten. Hinweis: Es gibt zum Rechnen mit komplexen Zahlen auch passende Videos. Siehe hierzu komplexe Zahlen Addition Video, komplexe Zahlen Subtraktion Video, komplexe Zahlen Multiplikation Video und komplexe Zahlen Division Video.
Starten wir mit dem Rechnen mit komplexen Zahlen. Los geht es mit der Addition. Dies geht so:
Sehen wir uns Beispiele an, wie man komplexe Zahlen addieren kann. Hinweis: Den imaginären Anteil kennzeichnen wir hier mit "i", manchmal wird jedoch auch ein "j" verwendet. Macht für die Berechnung aber keinen Unterschied:
Machen wir weiter mit dem Rechnen zu komplexen Zahlen. Es gilt für die Subtraktion:
Sehen wir uns Beispiele bzw. Aufgaben an, wie man komplexe Zahlen subtrahieren kann.
Weiter geht es mit der Multiplikation von komplexen Zahlen. Zunächst der allgemeine Zusammenhang, danach ein paar Beispiele.
Allgemeiner Zusammenhang:
Beispiel 1:
Berechnet werden soll (5 - 2i) multipliziert mit (3 + 4i). Hier zunächst die Rechnung, die Erklärungen folgen unterhalb.
Wir multiplizieren zunächst die Klammern aus, so wie man das aus der Schule bereits kennt. Im Anschluss fassen wir zusammen. Wir erhalten bei diesen Maßnahmen ein -8i2. In den Grundlagen haben wir gelernt, dass i2 = -1 ist. Setzen wir für i2 nun -1 ein wird aus -8i2 eine +8. Wir können dann noch einmal vereinfachen und erhalten 23 + 14i als Ergebnis.
Beispiel 2:
Und noch ein Beispiel: 2 - 4i wird mit -3 + 5i multipliziert. Auch hier zunächst die Rechnung und im Anschluss die Erklärung.
Die Vorgehensweise entspricht der aus dem 1. Beispiel. Auch hier multiplizieren wir zunächst aus und vereinfachen. Da auch hier i2 = -1 gilt wird aus den -20i2 wieder + 20. Im Anschluss wird dies wieder zusammengefasst zu 14 + 22i.
Kommen wir zur Division von komplexen Zahlen.
Allgemeiner Zusammenhang:
Es gibt zahlreiche Darstellung für die allgemeine Darstellung der Division von komplexen Zahlen. Also bitte nicht wundern, wenn eine andere Quelle dies anders darstellt. Im Anschluss sehen wir uns Beispiele an, diese zeigen dann, dass der Rechenweg fast mit bekannten Methoden aus der Schule durchzuführen ist.
Es gibt noch einen Punkt, den ich vor Beispielen ansprechen muss. Wir benötigen die so genannte konjugiert komplexe Zahl um die Division von komplexen Brüchen durchzuführen. Was heißt das? Nun, die konjugiert komplexe Zahl liegt spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Man erhält diese ganz einfach indem man das Vorzeichen vor dem imaginären Anteil umdreht.
Beispiele konjugiert komplexe Zahl:
Um die komplexe Zahlen Division durchzuführen werden wir den Bruch gleich konjugiert komplex erweitern. Daher diese zwei Beispiele.
Beispiel 1:
Berechnet werden soll 2 + i geteilt durch 1- 2i. Zunächst die Rechnung, im Anschluss die Erklärungen dazu.
Als ersten Schritt erweitern wir konjugiert komplex. Wie weiter oben beschrieben nehmen wir dabei den Nenner und tauschen das Vorzeichen. Aus 1 - 2i wird also 1 + 2i und dies multiplizieren wir mit Zähler und Nenner. Wir multiplizieren aus, so wie wir das vom Ausmultiplizieren von Klammern bereits aus der Schule kennen. Wer hier noch Probleme hat bitte den Artikel Klammern ausmultiplizieren lesen. Für den nächsten Schritt ist es wichtig zu wissen, dass i2 = -1 ist. Dadurch wird aus +2i2 nun -2 und aus -4i2 wird +4. Wir fassen weiter zusammen und kürzen, die Lösung lautet 1i.
Beispiel 2:
Im zweiten Beispiel soll 2 + 3i geteilt durch 1 - 4i berechnet werden.
Auch hier erweitern wird zunächst konjugiert komplex. Da der Nenner 1 - 4i lautet, wäre dies somit 1 + 4i. Wir multiplizieren aus und verwenden erneut den Zusammenhang i2 = -1. Im Anschluss vereinfachen wir und ändern die Darstellung noch.
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