Mit der ersten und zweiten Ableitung der Differenzialrechnung beschäftigen wir uns in diesem Artikel der Mathematik. Dabei liegt der Schwerpunkt zunächst auf der Bildung dieser Ableitungen. In einem Folgeartikel beschäftigen wir uns mit dem Nutzen höherer Ableitungen.
In der Differenzialrechnung benötigt man oftmals Zweifach-Ableitungen einer Funktion, um diese genauer zu untersuchen. In diesem Artikel zeigen wir euch, wie man diese Ableitungen bildet. Dazu ist es jedoch absolut notwendig, dass ihr wisst, wofür eine Ableitung überhaupt steht. Außerdem solltet ihr die grundlegenden Ableitungsregeln bereits kennen. Wenn ihr noch Lücken in diesen Bereichen habt, stehen euch die folgenden Artikel zur Verfügung:
- Grundlagen: Was hat es mit der Steigung auf sich?
- Fakotorregel und Summenregel
- Produktregel und Quotientenregel
- Kettenregel
- Tabelle von Ableitungen
Höhere Ableitungen
Eine Funktion wird im Mathematik-Unterricht meist in der Form y = f(x) angegeben. Leitet man die Funktion ab, erhält man y' (gesprochen: Y-Strich). Leitet man y' ab, erhält man y'' (Y-Zwei-Strich) und so weiter. Die Anzahl der "Striche" gibt an, die wievielte Abbildung vorliegt. Die Regeln um höhere Ableitungen zu bilden, ändern sich dabei nicht. Die folgenden Beispiele zeigen euch, wie dies funktioniert.
Beispiel 1 (Faktorregel / Potenzregel):
- y = 3x3
- y' = 9x2
- y'' = 18x
Beispiel 2 (Summenregel):
- y = 5x + 6x3
- y' =5 + 18x2
- y'' = 36x
Beispiel 3 (Produktregel + Faktorregel):
- y = (5x3 -2x) (2x)
- y' = (15x2 - 2) (2x) + (5x3 - 2x) (2)
- y' = 30x3 - 4x + 10x3 - 4x
- y' = 40x3 - 8x
- y'' = 120x2 - 8
Vorgehensweise: Bildet mit den Ableitungsregeln die erste Ableitung der Funktion. Vereinfacht dann - sofern möglich - die Funktion und leitet diese erneut ab. Werden noch höhere Ableitungen (y''' , y'''' etc.) benötigt, wendet das Verfahren erneut an. Mit dem Wissen zu höheren Ableitungen ist es nun möglich, Extremwertprobleme zu untersuchen.
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