In diesem Abschnitt nutzen wir die Integral-Rechnung zur Bestimmung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen. Dabei zeigen wir euch anhand einer Grafik zunächst, was damit gemeint ist und wie man die so genannten Schnittpunkte ausnutzt.
Um den folgenden Artikel gut zu verstehen, sind Grundkenntnisse aus anderen Bereichen der Integralrechnung nötig. Wem die folgenden Themen noch gar nichts sagen, der möge sie bitte erst nachlesen:
Zur Erinnerung: Mit der Integralrechnung lässt sich die Fläche unter einer Funktion bestimmen. Mit diesem Wissen versuchen wir im nun Folgenden für ein einfaches Beispiel die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen zu berechnen. Schaut euch dazu einmal die folgende Grafik an:
Folgendes gibt es bei dieser Grafik zu verstehen:
Überlegung: Berechnen wir die Fläche unter g(x) und addieren die grüne Fläche drauf, erhalten wir die Fläche unter f(x). Oder anders ausgedrückt: Berechnen wir die Fläche unter f(x) und ziehen die Fläche unter g(x) ab, erhalten wir die grüne Fläche.
WICHTIG: Es bringt bei der Berechnung von Flächen zwischen Funktionsgraphen gar nichts, einfach irgendwelche Formeln stur auswendig zu lernen. Die Aufgaben können so verschieden gestellt werden, dass ihr mit bloßen Einsetzen in irgend eine Formel schnell zum falschen Ergebnis kommen würdet.
Im nun Folgenden schauen wir uns verschiedene Beispiele zur Berechnung der Flächen an. Für das erste Beispiel geben wir dafür auch eine Beispielrechnung an. Für die anderen Beispiele beschränken wir uns vorerst auf die Idee zur Berechnung der Flächen.
Beispiel 1:
Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen soll berechnet werden. Deren Gleichungen lauten f(x) = x2 - 8x + 17 und g(x) = -x + 7. Zur besseren Übersicht wurde eine Skizze angefertigt:
Um die Integrationsgrenzen zu erhalten, müssen wir die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen finden. Danach berechnen wir die Flächen unter den jeweiligen Funktionsgraphen. Deren Differenz ist die gesuchte Fläche. Das sieht dann so aus:
Nochmal zum mitdenken:
Es folgen einige weitere Beispiele, welche die Berechnung von Flächen zwischen Kurven zeigen. Um den Artikel nicht extrem in die Länge zu ziehen, wird bei diesen jedoch nur auf den allgemeinen Lösungsweg eingegangen.
Beispiel 2:
Kommen wir zu einem weiteren Beispiel, an dem die prinzipielle Denkweise verdeutlicht werden soll:
Zur Berechnung der Fläche müsste man wie folgt vorgehen:
Beispiel 3:
Unser nächstes Beispiel wird noch ein Stück komplizierter. Doch schaut euch zunächst einmal die folgende Grafik an:
Zur Berechnung der Fläche müsste man wie folgt vorgehen:
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