Vielfache und Teiler berechnen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Mittwoch, 11. August 2021 um 09:45 Uhr

Was Vielfache und Teiler sind, lernst du hier durch verschiedene Beispiele. Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) folgen im Anschluss. Passend dazu gibt es außerdem noch in die Primzahlen und die Primfaktorzerlegung.

Starten wir mit den Vielfachen. Um die Vielfachen einer Zahl zu erhalten, multiplizieren wir diese Zahl mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter. Das Ergebnis dieser Multiplikationen sind die Vielfachen. Es folgen zahlreiche Beispiele zu den Vielfachen der Zahlen 2 bis 12, 24, 45, 75 und 111. Die Vielfachen sind jeweils rot eingerahmt.

Vielfache von 2:

Vielfache von 2

Vielfache von 3:

Vielfache von 3

Vielfache von 4:

Vielfache von 4

Vielfache von 5:

Vielfache von 5

Vielfache von 6:

Vielfache von 6

Vielfache von 7:

Vielfache von 7

Vielfache von 8:

Vielfache von 8

Vielfache von 9:

Vielfache von 9

Vielfache von 10:

Vielfache von 10

Vielfache von 11:

Vielfache von 11

Vielfache von 12:

Vielfache von 12

Vielfache von 24:

Vielfache von 24

Vielfache von 45:

Vielfache von 45

Vielfache von 75:

Vielfache von 75

Vielfache von 111:

Vielfache von 111

Teiler berechnen

Neben den Vielfachen interessiert man sich in der Mathematik oftmals auch für die Teiler einer Zahl. Für die ersten beiden Beispiele sollen die Teiler der Zahlen 4 und 5 berechnet. Wir teilen diese Zahlen jeweils durch die natürlichen Zahlen von 1 bis zu der entsprechenden Zahl. Teiler sind all die Zahlen, welche bei der Berechnung keinen Rest erzeugen.

Teiler von 4:

Teiler von 4

Die Teiler der Zahl 4 sind die Zahlen 1, 2 und 4. Die Zahl 3 ist kein Teiler denn es entsteht ein Rest bei der Division.

Teiler von 5:

Teiler von 5

Die Teiler der Zahl 5 sind die Zahlen 1 und 5. Die Zahlen 2, 3 und 4 sind keine Teiler denn es entsteht ein Rest bei der Division.

Teiler größerer Zahlen:

Insbesondere wenn die Zahlen größer werden macht das Suchen nach den Teilern mehr Arbeit. Eine erste Erleichterung ist es nur bis zur Hälfte der Ausgangszahl zu teilen. Zum Beispiel suchen wir für die 24 nur bis zur 12. Durch die Zahl selbst (24) kann natürlich ebenfalls geteilt werden.

Teiler bis 24:

Teiler von 24

Kein Rest sind die Divisoren bei denen kein Rest entsteht. Die Teiler der Zahlen 24 sind damit 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und die 24 sebst.

Teiler bis 36:

Teiler von 36

Teiler haben wir bei den Divisoren bei denen kein Rest entsteht. Die Teiler der Zahlen 36 sind damit die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und die 36 selbst.

Vielfache: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem größten gemeinsamen Teiler, kurz ggT genannt. Dabei werden zwei Zahlen "zerlegt" und untersucht, welche größtmöglichen Teiler beide haben. Auch das lässt sich am Besten anhand von Beispielen verstehen.

Beispiel 1 (Zahlen 6 und 12):

  • Die Teiler von 6: 1, 2, 3, 6
  • Die Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • Die Zahl 6 ist die größte Zahl, die bei beiden Teilern vorkommt.

Beispiel 2 (Zahlen 36 und 48):

  • Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  • Teiler von 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  • Die Zahl 12 ist die größte Zahl, die bei beiden Teilern vorkommt.


Nochmal zum Mitdenken: Für beide Zahlen werden die Teiler gesucht. Dazu wird geprüft, durch welche Zahl sich teilen lässt, ohne dabei einen Rest (eine Kommazahl) zu erhalten. Sind alle Teiler gefunden, wird nachgesehen, welche die größte Zahl ist, die bei beiden Teilern zu finden ist.

Teiler: Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Fehlt uns nun noch das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV genannt. Hier werden erneut zwei Zahlen betrachtet. Dabei wird die jeweilige Zahl mit 2, 3, 4 etc. multipliziert und in einer Reihe aufgeschrieben. Dann wird nachgesehen, wo die kleinste gemeinsame Zahl zu finden ist.

Beispiel 1 (kgV von 6 und 18):

  • Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24....
  • Vielfache von 18: 18, 36, 54....
  • Kleinste gemeinsame Zahl ist somit die 18.

Beispiel 2 (kgV von 12 und 18):

  • Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60 ....
  • Vielfache von 18: 18, 36, 54, 72, 90 ...
  • Kleinste gemeinsame Zahl ist somit die 36.

Den meisten Schülern und Schülerinnern in der Schule ist zunächst nicht klar, warum man so Dinge wie Primzahlen, Primfaktorzerlegung oder auch Teiler und Vielfache von Zahlen benötigt. Die Antwort darauf lautet: Diese Dinge werden in zukünftigen Mathestunden benötigt. So ist es zum Beispiel bei der Bruchrechnung sinnvoll, die Brüche zu kürzen. Und um dies zu schaffen, muss man wissen, welche gemeinsamen Teiler die Zahlen haben. Sich mit diesem Artikel zu beschäftigen, lohnt sich also vor allem dann, wenn man sich anschließend mit der Bruchrechnung nicht so schwer tun möchte.

Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 oder durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. So und diesen Satz von eben bitte 3-5 mal durchlesen und darüber nachdenken. Weil das ist schon das gesamte Geheimnis hinter Primzahlen. Nehmen wir ein kleines Beispiel noch zum verdeutlichen: Die Zahl 11. Diese Zahl lässt sich nicht durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 oder eine andere Zahl teilen, ohne dass ein Rest (Kommazahl) entsteht. Die Zahl 11 ist nur durch 1 und sich selbst - also 11 - teilbar. Damit ist die Zahl 11 eine Primzahl. Genauso wie die folgenden Zahlen:

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 ....

Primfaktorzerlegung:

Die Primfaktorzerlegung dient dazu, eine Zahl in möglichst kleine Produkte zu verwandeln. Oder anders ausgedrückt: Eine Zahl in möglichst kleine Multiplikationen von Primzahlen zu zerlegen. Dies lässt sich am Besten anhand von Beispielen zeigen.

Beispiel 1:

  • 24 = 2 · 12
  • 24 = 2 · 2 · 6
  • 24 = 2 · 2 · 2 · 3
  • Die Zahlen 2 und 3 sind die Primzahlen

Beispiel 2:

  • 90 = 2 · 45
  • 90 = 2 · 5 · 9
  • 90 = 2 · 5 · 3 · 3
  • Die Zahlen 2, 3 und 5 sind die Primzahlen

Übungsaufgaben / Klausuraufgaben:

Das mit Teilern, Vielfachen etc. lässt sich sehr gut bei der Bruchrechnung üben, weil dies genau dort angewendet wird. Wer üben möchte, schaut also am Besten in unserem Bruchrechnungs-Bereich einmal vorbei.

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