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Summe + Potenz ableiten

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

Wir beginnen in diesem Bereich mit dem Ableiten von Funktionen unter dem Einsatz so genannter Ableitungsregeln. Dabei schauen wir uns zunächst an, wie man eine Summe und eine Potenz ableitet. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Erst einmal eine kleine Anmerkung: Wer den Artikel Grundlagen und Steigung zur Ableitung noch nicht gelesen hat, sollte dies am Besten tun. Dort wird klar, wofür man die Differentialrechnung überhaupt benötigt. Wer dies gelesen hat, kann nun mit der Ableitung einer Potenz beginnen.

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Potenz ableiten

Beginnen wir mit der Faktorregel zur Ableitung einer Potenz.  Ziel ist es, Funktionen wie zum Beispiel  x3 oder 4x3 oder auch 6x abzuleiten. Allgemein gilt der folgende Zusammenhang: y = xn mit der Ableitung y' = n · xn-1. Es folgt nun eine kurze Anleitung dazu, wie man eine Potenz ableitet und danach sehen wir uns Beispiele an:

  • Schreibt euch die Funktion y = ... auf
  • Schreibt darunter y' =
  • Schreibt den Exponent von y hinter y' =
  • Schreibt dann das x hin
  • Der Exponent für die Ableitung wird um eins reduziert.

Das klingt jetzt erst einmal etwas kompliziert. Die folgenden Beispiele zur Ableitung einer Potenz verdeutlichen dies:

Tabelle nach rechts scrollbar
y = f(x)
y' = f'(x)
x2 2x
x3 3x2
x4 4x3
2x3 2 · 3 · x2 = 6x2
5x6 5 · 6 · x5 = 30x5
14 · x2 14 · 2 · x1 = 28x
4x10 4 · 10 · x9 = 40x9
5x 5 · x0 = 5
5 0

Wie das letzte Beispiel zeigt: Die Ableitung einer Zahl ( ohne x ) ist stets Null. Geht alle Beispiele gründlich durch, dann sollten euch die Zusammenhänge klar werden.

Summe ableiten

Die Summenregel dient dazu, eine Summe abzuleiten: Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden. Auch dies lässt sich am Besten anhand von einigen Beispielen zeigen.

Tabelle nach rechts scrollbar
y = f(x)
y' = f'(x)
x2 + x2
2x + 2x
3x + 2x3 3 + 2 · 3 · x2
5x2 + 10x3
5 · 2x + 10 · 3x2
3x2 + 2x3 + 4x3
3 · 2x + 2 · 3x2 + 4 · 3x2

Um eine Summe vernünftig ableiten zu können, hilft es also, zunächst eine Potenz ableiten zu können.

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