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Umkehrfunktion berechnen / bilden

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

In diesem Artikel befassen wir uns mit der Umkehrfunktion. Dabei wird erklärt, was man unter einer Umkehrfunktion zu verstehen hat, wie man sie berechnen kann und wie man sie ableiten kann. Alles wird durch Beispiele verdeutlicht. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Bevor wir uns auf die Umkehrfunktion stürzen, sollte ihr kurz nachsehen ob euch die folgenden Begriffe schon etwas sagen. Ist das nicht der Fall, dann lest bitte erst einmal die im Folgenden verlinkten Inhalte durch. Denn wer diese bereits kennt tut sich wesentlich leichter mit dem Bilden der Umkehrfunktion sowie deren Ableitung.

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Umkehrfunktion berechnen Grundlagen

In der Mathematik hat man oftmals Funktionen der Art y = f(x), also zum Beispiel y = 3x + 2 oder y = 5x + 5.  Löst man nun diese Funktionen nach "x" auf und vertauscht anschließend x und y, dann erhält man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion, oft auch inverse Funktion genannt. Diese Umkehrfunktion wird oft mit f-1 bezeichnet. Leider ist es so, dass dies nicht immer möglich ist. Zum besseren Verständnis sehen wir uns die allgemeine Vorgehensweise an und dann geht es an einige Beispiele.

Allgemeine Vorgehensweise:

  • Die Funktionsgleichung y = f(x) lösen wir nach der Variablen x auf.
  • Im Anschluss vertauschen wir x und y.

Beispiel 1: Lineare Funktion

Gegeben sei die lineare Funktion y = 2x + 1. Ziel ist es die Umkehrfunktion zu berechnen. Dazu lösen wir die Gleichung nach x auf und vertauschen im Anschluss x und y. Bei dieser Funktion ist es möglich die Umkehrfunktion zu berechnen, da jedem X-Wert ein  Y-Wert zugeordnet werden kann. Wir erhalten dadurch y = 0,5x - 0,5. Hier die komplette Rechnung:

Umkehrfunktion 1

Umkehrfunktion grafisch:

Nachdem wir nun ein Beispiel gerechnet haben sehen wir uns die Umkehrfunktion einmal grafisch an. In rot seht ihr die Ausgangsfunktion y = 2x + 1 und in grün die Umkehrfunktion y = 0,5x - 0,5.  Nun zeichnen wir uns noch mit x = y die Winkelhalbierende im 1. und 3. Quadranten des Koordinatensystems ein. Spiegelt man nun einen Punkt der roten Gerade an der Winkelhalbierenden erhält man einen Punkt auf der grünen Geraden.

Umkehrfunktion Zeichnung 1

Beispiel 2: Lineare Funktion

Als nächstes sehen wir uns die Funktion y = 3x - 5 an. Auch hier bilden wir die Umkehrfunktion, indem wir zunächst nach x auflösen und im Anschluss x und y vertauschen. Und auch hier handelt es sich um eine lineare Funktion, daher ist das Bilden der Umkehrfunktion auch möglich.

Umkehrfunktion 2

Beispiel 3: Quadratische Funktion

Bei einer quadratischen Funktion wie zum Beispiel y = x2 tritt ein Problem auf. Hier liegt keine eindeutige Zuordnung vor, denn einem y-Wert sind zwei x-Werte zugeordnet. So erhält man y = 4 sowohl mit x = 2 als auch mit x = -2. Oder y = 9 erhält man sowohl mit x = 3 als auch mit x = -3.  Um hier dennoch die Umkehrfunktion bilden zu können, muss man zwei verschiedene Fälle unterscheiden können. So sehen wir uns einmal den Bereich für positive x-Werte und einmal den Bereich für negative x-Werte an. Dadurch entstehen zwei Umkehrfunktionen. Das sieht dann so aus:

Umkehrfunktion 3

Beispiel 4: E-Funktion

Sehen wir uns als nächstes eine E-Funktion an. Dabei soll die Umkehrfunktion von y = ex gebildet werden. Durch Einsatz des natürlichen Logarithmus erhalten wir zunächst x = ln(y). Nun vertauschen wir wieder x und y und erhalten als Umkehrfunktion y = ln(x).

Umkehrfunktion 4

Umkehrfunktion ableiten

Wir wissen nun was eine Umkehrfunktion ist. Im zweiten Teil dieses Artikels geht es nun darum, eine Umkehrfunktion ableiten zu können. Folgt dem nächsten Link um dies zu lernen.

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