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Wendetangente berechnen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 07. September 2014 um 14:00 Uhr

Dieser Mathematik-Artikel beschäftigt sich mit dem Thema "Wendetangente". Dabei klären wir zunächst, was eine Wendetangente überhaupt ist. Anschließend gehen wir auf deren Berechnung ein.

Im nun Folgenden gehen wir näher auf den Begriff der Wendetangente ein. Damit ihr diesen Artikel jedoch verstehen könnt, solltet ihr einige Vorkenntnisse mitbringen. Wem die folgenden Themen noch gar nichts sagen, der möge sie bitte nachlesen. Alle anderen können gleich mit der Wendetangente starten.

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Wendetangente: Was ist das?

Zur Erinnerung: Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Wenn man diesen Punkt gefunden hat und an genau diesem Punkt eine Tangente anlegt, ist dies die Wendetangente. In der folgenden Grafik wurde zunächst der Wendepunkt markiert:

Wendepunkt

Nun legen wir in genau diesem Punkt eine Tangente an. Per Hand gezeichnet sieht dies in etwa so aus:

Wendetangente

Zeichnet man die Wendetangente per Hand ein, ist dies immer etwas ungenau. Exakter geht es, wenn man diese berechnet. Und genau damit beschäftigen wir uns im folgenden Absatz.


Wendetangente berechnen

Nun suchen wir eine genaue, mathematische Beschreibung der Wendetangente. Dazu bedienen wir uns grundsätzlich erst einmal dem Wissen, wie man einen Wendepunkt berechnet. Kennt man dessen Lage, kann man damit die Wendetangente berechnen. Wir führen die folgenden Schritte durch, um beides zu ermitteln:

Wir suchen zunächst den Wendepunkt:

  1. Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab.
  2. Wir setzen die zweite Ableitung Null und berechnen den X-Wert, sofern möglich
  3. Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein
  4. Ist dieses Ergebnis ungleich Null, liegt ein Wendepunkt vor
  5. Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen

Anschließend ermitteln wir die Wendetangente:

  1. Die Wendetangente ist eine Gerade der Form y = mx + b. Die Variablen m und b müssen bestimmt werden
  2. Die X-Koordinate des Wendepunkts setzen wir in die erste Ableitung ein und erhalten "m"
  3. Anschließend berechnen wir die Schnittstelle "b" mit der Y-Achse
  4. Die Werte setzen wir in die Geradengleichung ein und erhalten dadurch die Wendetangente

Beispiel:

Wir nehmen uns nun ein einfaches und gängiges Beispiel vor, um die Berechnung der Wendetangente zu zeigen.  Dabei folgen wir Schritt für Schritt der Anleitung zur Berechnung des Wendepunktes und anschließend der Wendetangente.

Wendetangene Beispiel 1 Grafik 1

Wendetangene Beispiel 1 Grafik 2

Wendetangene Beispiel 1 Grafik 3

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