Differentialrechnung / Differenzialrechnung

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

Hier findet ihr eine Übersicht zur Differentialrechnung / Differenzialrechnung. Dabei klären wir zunächst, was es mit der Steigung auf sich hat und zeigen dann einige Regeln, um einzelne Funktion möglichst einfach abzuleiten.

Im nun Folgenden findet ihr die Themen der Differenzialrechnung. Ihr könnt dabei eines der Themen anklicken um Informationen ( Beispiele + Videos ) dazu zu erhalten. Für alle, die sich mit dem Thema noch gar nicht haben anfreunden können, stehen die Grundlagen bereit.

Themen der Differentialrechnung:

Hier ein kleiner Auszug aus den jeweiligen Teilgebieten der Differentialrechnung mit Verweise auf weitere Informationen.

Differentialrechnung: Die Steigung

Schaut euch zu Beginn des Themas Differentialrechnung einmal die folgende Grafik an: Dort seht ihr eine Funktion eingezeichnet. Ziel ist es, deren Steigung zu bestimmen. Steigung? Nun das kennt eigentlich jeder. Ihr steht vor einer Straße, die den Berg hoch geht. Ihr habt also eine Steigung zu bewältigen. So etwas kann man auch mathematisch beschreiben. Also erst einmal  die Grafik ansehen, darunter gibt es dann einige Erklärungen.

Steigung lineare Funktion

Erklärungen: Wie ihr sehen könnt, ist die Steigung überall gleich. Diese möchten wir nun ausrechnen. Dabei wählen wir uns zwei Punkte und bilden dann ein Steigungsdreieck. Hier eine Schritt-für-Schritt Anleitung:

  • Wählt einen ersten Punkt auf der Gerade aus. Punkt 1: X = 6 und Y = 3
  • Wählt einen zweiten Punkt auf der Gerade aus: Punkt 2: X = 2 und Y = 1
  • Bildet ΔY: Den zweiten Y-Punkt minus dem ersten Y-Punkt: 3 - 1 = 2
  • Bildet ΔX: Den zweiten X-Punkt minus dem ersten X-Punkt: 6 - 2 = 4
  • Steigung = ΔY : ΔX -> Steigung = 2 : 4 = 0,5
  • Die Steigung beträgt somit 0,5

Die Steigung ist überall gleich. Das macht es recht einfach, diese zu berechnen. Aufwendiger wird es, wenn ihr eine "krumme" Funktion habt und das Steigungsverhalten analysieren wollt. Genau darum dreht sich die Differentialrechnung. Dies schauen wir uns im nun Folgenden an.

Summenregel und Faktorregel + Potenzregel der Differentialrechnung

Beginnen wir mit der Faktorregel und Potenzregel aus dem Gebiet der Differentialrechnung.  Ziel ist es, Funktionen wie zum Beispiel  x4 oder 3x2 oder auch 5x abzuleiten. Allgemein gilt: y = xn mit der Ableitung y' = n · xn-1. Hier die allgemeine Anwendung, einige Beispiele folgen anschließend:

  • Schreibt euch die Funktion y = ... auf
  • Schreibt darunter y' =
  • Schreibt den Exponent von y hinter y' =
  • Schreibt dann das x hin
  • Der Exponent für die Ableitung wird um eins reduziert.
  • Ein Faktor bleibt erhalten

Das klingt jetzt erst einmal etwas kompliziert. Die folgenden Beispiele verdeutlichen dies:

Tabelle nach rechts scrollbar
y = f(x)
y' = f'(x)
x2 2x
x3 3x2
x4 4x3
2x3 2 · 3 · x2 = 6x2
5x6 5 · 6 · x5 = 30x5


14 · x2 14 · 2 · x1 = 28x
4x10 4 · 10 · x9 = 40x9
5x 5 · x0 = 5
5 0

Produktregel und Quotientenregel

Mit der Faktor- und Summenregel haben wir uns bereits befasst. Nun kommen wir zur Produktregel der Differentialrechnung. Diese wird eingesetzt, wenn eine Funktion in Produktform vorliegt. Es folgt zunächst einmal die Formel. Danach folgen Erklärungen und Beispiele.

Produktregel: Ausführliche Schreibweise

Produktregel

Produktregel: Kurzschreibweise

Produktregel Kurzschreibweise

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