Potenzgesetze

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 28. Dezember 2017 um 18:51 Uhr

Mit den Potenzgesetzen beschäftigen wir uns in diesem Artikel. Dabei liefern wir euch sowohl die mathematischen Vorschriften, als auch eine Reihe an Beispielen zum besseren Verständnis. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.

Die Potenzgesetze ermöglichen es, Potenzen mit ähnlichen Eigenschaften zusammenzufassen, zum Beispiel das Zusammenfassen von Potenzen mit  gleicher Basis oder Potenzen mit gleichem Exponenten.

Potenzgesetze Video:
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  • Potenzgesetze zur Multiplikation

    Folgende Regel gilt für das Multiplizieren von Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. Es folgt nun die allgemeine Rechenvorschrift sowie eine Reihe an Beispielen:

    an · am = an+m

    Beispiele:

    • 25 · 23 = 25+3 = 28 = 256
    • 4-3 · 47 = 4-3+7 = 44 = 256

    Dieses Gesetz darf man jedoch nicht mit einem anderen Potenzgesetz verwechseln. Dieses besagt: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, in dem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Es folgt nun die allgemeine Rechenvorschrift sowie eine Reihe an Beispielen:

    an · bn = ( a · b )n

    Beispiele:

    • 53 · 23 = ( 5 · 2 )3 = 103 = 1000
    • 35 · 25 = ( 3 · 2 )5 = 65 = 7776

    Und noch ein drittes Potenzgesetz möchten wir euch in diesem Zusammenhang nicht vorenthalten. Dieses besagt: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. Es folgt nun die allgemeine Rechenvorschrift sowie eine Reihe an Beispielen:

    (an)m = an·m

    Beispiel:

    • (41)2 = 41·2 = 42 = 16

    Potenzgesetze zur Division

    Folgende Regel gilt für das dividieren von Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. Es folgt nun die allgemeine Rechenvorschrift sowie eine Reihe an Beispielen:

    an : am = an-m

    Beispiele:

    • 25 : 23 = 25-3 = 22 = 4
    • 43 : 42 = 43-2 = 41 = 4

    Dieses Potenzgesetz solltet ihr nicht mit dem folgenden Gesetz verwechseln: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, in dem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält:

    an : bn = ( a : b )n

    Beispiele:

    • 42 : 22 = ( 4 : 2 )2 = 22 = 4
    • 93 : 33 = ( 9 : 3 )3 = 33 = 27

    Potenzgesetze: ( Abgetrennte ) Zehnerpotenzen

    Zehnerpotenzen sind ganzzahlige Potenzen mit der Basis 10 und einem beliebigem, ganzzahligen Exponenten ( Hochzahl ). Ihre Potenzschreibweise lautet dann zum Beispiel 10n mit einer natürlichen Zahl n. In naturwissenschaftlichen und technischen Zusammenhängen tauchen sehr oft extrem große oder extrem kleine Zahlen auf. Der Einsatz von abgetrennten Zehnerpotenzen hilft, die Darstellung der Zahlen deutlich zu verkürzen. Die Darstellung sieht dann in etwa so aus: x · 10n. Das folgende Beispiel zeigt, wie man eine Zahl unter Einsatz von Zehnerpotenzen noch darstellen kann.

    Beispiel:

    • 2030000 = 203000 · 101 = 20300 · 102 = ... = 20,3 · 105 = 2,03 · 106 = ...

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